2.2.4平面与平面平行的性质1.理解并能证明两个平面平行的性质定理.2.能利用性质定理解决有关的平行问题.平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行图形语言符号语言α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b作用证明两条直线平行归纳总结平面与平面平行的性质:(1)如果两个平面平行,那么它们没有公共点;(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(实质上可以作为直线与平面平行的判定方法).【做一做】如图,已知平面α∥平面β,A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,AD∥BC.求证:AD=BC.证明:因为AD∥BC,所以AD与BC确定一个平面γ.因为α∥β,α∩γ=AB,β∩γ=DC,所以AB∥DC.所以四边形ABCD是平行四边形.所以AD=BC.121.理解面面平行的性质定理剖析:(1)面面平行的性质定理的条件有三个:①α∥β;②α∩γ=a;③β∩γ=b.三个条件缺一不可.(2)定理的实质是由面面平行得线线平行,其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面.(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义.12知识拓展空间中各种平行关系相互转化的示意图122.记忆口诀剖析:有关线面、面面平行的判定与性质,可按下面的口诀去记忆:空间之中两直线,平行相交和异面.线线平行同方向,等角定理进空间.判断线和面平行,面中找条平行线.已知线和面平行,过线作面找交线.要证面和面平行,面中找出两交线.线面平行若成立,面面平行不用看.已知面与面平行,线面平行是必然.若与第三面相交,则得两条平行线.题型一题型二题型一证明直线与直线平行【例1】如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点,直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.求证:AC∥BD.证明:因为PB∩PD=P,所以直线PB和PD可确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.因为α∥β,所以AC∥BD.题型一题型二反思证明线线平行的方法(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.(2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.(3)线面平行的性质定理:𝑎∥𝛼𝑎⊂𝛽𝛼⋂𝛽=𝑏ൡ⇒a∥b,应用时题目条件中需有线面平行.(4)面面平行的性质定理:𝛼∥𝛽𝛼⋂𝛾=𝑎𝛽⋂𝛾=𝑏ൡ⇒a∥b,应用时题目条件中需有面面平行.(5)反证法:假设两条直线不平行,然后推出矛盾,进而证明两条直线应当是平行的.题型一题型二【变式训练1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试画出平面A1BC1与底面ABCD的交线l,并说明理由.解:在平面ABCD内,过点B作直线与AC平行,该直线即为所求作直线l(如图).理由:因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1BC1∩平面A1B1C1D1=A1C1,平面A1BC1∩平面ABCD=l,所以A1C1∥l.又AC∥A1C1,故l∥AC.题型一题型二题型二证明直线和平面平行【例2】如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E在AB'上,点F在BD上,且B'E=BF.求证:EF∥平面BB'C'C.题型一题型二证明:方法一:作FH∥AD交AB于点H,连接HE.如图所示.∵AD∥BC,∴FH∥BC.又FH⊄平面BB'C'C,BC⊂平面BB'C'C,∴FH∥平面BB'C'C.由FH∥AD,可得𝐵𝐹𝐵𝐷=𝐵𝐻𝐵𝐴.又BF=B'E,BD=AB',∴𝐵'𝐸𝐵'𝐴=𝐵𝐻𝐵𝐴.∴EH∥B'B.又EH⊄平面BB'C'C,B'B⊂平面BB'C'C,∴EH∥平面BB'C'C.又EH∩FH=H,∴平面FHE∥平面BB'C'C.又EF⊂平面FHE,EF⊄平面BB'C'C,∴EF∥平面BB'C'C.题型一题型二方法二:连接AF并延长交BC于点M,连接B'M.如上图所示.∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB.∴𝐴𝐹𝑀𝐹=𝐷𝐹𝐵𝐹.又BD=B'A,B'E=BF,∴DF=AE,∴𝐴𝐹𝐹𝑀=𝐴𝐸𝐸𝐵',∴EF∥B'M.又EF⊄平面BB'C'C,B'M⊂平面BB'C'C,∴EF∥平面BB'C'C.题型一题型二反思证明线面平行的方法主要有三种:(1)应用线面平行的定义;(2)应用线面平行的判定定理;(3)应用“两个平面平行时,其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面”.题型一题型二【变式训练2】已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内,P,Q分别是对角线AE,BD的中点.求证:PQ∥平面CBE.题型一题型二证明:方法一:如图,取AB的中点G,连接PG和GQ.因为P是AE的中点,所以PG∥EB.又PG⊄平面CBE,EB⊂平面CBE,所以PG∥平面CBE.同理可证GQ∥平面CBE.又PG∩GQ=G,PG⊂平面PGQ,GQ⊂平面PGQ,所以平面PGQ∥平面CBE.因为PQ⊂平面PGQ,PQ⊄平面CBE,所以PQ∥平面CBE.题型一题型二方法二:如图,连接AC,则Q∈AC,且Q是AC的中点.因为P是AE的中点,所以PQ∥EC.因为PQ⊄平面CBE,EC⊂平面CBE,所以PQ∥平面CBE.
