•重点难点•重点：二项式展开式的通项和二项式系数的性质．•难点：二项式系数的性质、二项式系数与项的系数的区别．•知识归纳•1．二项式定理•(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr＋…Cnn－1abn－1＋Cnnbn(n∈N＋)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其通项公式为Tr＋1＝Cnran－rbr.•(a－b)n的展开式第r＋1项Tr＋1＝(－1)r·Cnran－rbr.•(3)Cn0＋Cn1＋Cn2…＋＋Cnr…＋＋Cnn＝2n.•(4)Cn1＋Cn3＋Cn5…＋＝Cn0＋Cn2＋Cn4…＋＝2n－1.2．二项式系数的性质(1)对称性：Cn0＝Cnn，Cn1＝Cnn－1，Cn2＝Cnn－2，…，Cnr＝Cnn－r.(2)增减性与最大值：二项式系数Cnk，当kn＋12时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项的系数最大．当n是奇数时，中间两项的系数相等且最大．•误区警示•1．通项公式Tk＋1＝Cnkan－kbk是第k＋1项，而不是第k项，注意其指数规律．•2．求二项式展开式中的特殊项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项…)时，要注意n与k的取值范围．•3．区分某项的系数与某项的二项式系数．•赋值法•在某些二项式定理的有关求“系数和”的问题中，常用对字母取特值的方法解题．•(2)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()•A．74B．121•C．－74D．－121[例1](1)在x－12x10的展开式中，x4的系数为()A．－120B．120C．－15D．15•解析：(1)利用通项公式，令x的指数为4得x4是展开式中的第几项，再回到通项求其系数．∴选C.•(2)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项为C53(－x)3＋C63(－x)3＋C73(－x)3＋C83(－x)3＝－121x3，系数为－121.故选D.•答案：(1)C(2)D•点评：求二项展开式中某些特殊项、常数项、有理项、无理项或它们的系数等问题．利用通项公式写出其一般式，再令其中r取某些特定值是解决该类型问题的常用方法．解析： (1－x)3的有理项为1和3x，故要出现x2，需从因式(1－x)4中找x2项和x项，即C42x2和－C41x，∴x2项为C42x2·1－C41·x·3x＝－6x2，∴选A.•答案：A(2010·全国卷Ⅰ，5)(1－x)4(1－x)3的展开式中x2的系数是()A．－6B．－3C．0D．3[例2]若x＋1xn展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10B．20C．30D．120解析：二项式系数之和2n＝64，∴n＝6，Tr＋1＝C6r·x6－r·1xr＝C6rx6－2r，当6－2r＝0，即r＝3时为常数项．T3＋1＝C63＝20.•答案：B•点评：在二项式展开式中，各项系数的和为2n，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，都等于2n－1.•(1)二项式系数最大的项；•(2)系数的绝对值最大的项．•分析：(1)根据二项式系数的性质，列方程求解n.(2)系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．已知(3x＋x2)2n的展开式的二项式系数的和比(3x－1)n的展开式的二项式系数的和大992，求2x－1x2n的展开式中．解析：由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5.(1)由二项式系数的性质知，2x－1x10的展开式中第6项的二项式系数最大．∴T6＝C105(2x)5－1x5＝－8064.(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大， Tr＋1＝C10r·(2x)10－r·－1xr＝(－1)rC10r·210－r·x10－2r，Tr＝C10r－1(2x)11－r·－1xr－1＝(－1)r－1C10r－1·211－r·x12－2r，Tr＋2＝C10r＋1(2x)9－r·－1xr＋1＝(－1)r＋1C10r＋1·29－r·x8－2r，∴C10r·210－r≥C10r－1·211－rC10r·210－r≥C10r＋1·29－r，∴C10r≥2C10r－12C10r≥C10r＋1，即11－r≥2r2r＋1≥10－r，解得83≤r≤113， r∈Z，∴r＝3，故系数的绝对值最大的是第4项，T4＝－C103·27·x4＝－15360x4.•[例3]若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2…＋＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2…＋＋a11的值为()•A．2B．－1C．－2D．1•分析：观察条件等式的右边可以发现a0＋a1＋a2＋…＋a11是等式右边的各项系数的和，故只要令x＋2＝1，即可求出...
