切线与割线斜率关系的深度探析VIP免费

1 切线与割线斜率关系的深度探析1. 问题提出文【 1】得出了如下的结论：设( )yf x 是定义在 ( , )a b 上的可导函数， 曲线:( )Cyf x 上任意两个不同点的连线(称为割线 )斜率的取值区间为P ，曲线 C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ，则PQ ，而且 Q 中元素比 P 中元素至多多了区间P 的端点值 . 并指出，求解1212()()f xf xxx 的恒成立问题，可将1212()()f xf xxx转化为( )fx ，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D ，然后再检验区间D 的端点值是否符合题意 . 例如，已知21( )2ln(0)f xxx xx，对于任意两个不等的正数12,x x ，恒有1212()()fxfxxx ，求的取值范围 (四川 2006 高考题变式 ). 【解】设21()()4gxfxxxx，322( )4g xxx，依条件1212()()1g xg xxx，由( )1g x得32241xx，以 1x替换 x ，则有32241xx对任意0x恒成立 .①当0 时，显然成立；② 当0时 ， 令32( )24(0)h xxxx，2( )62h xxx， 令()03hxx. x(0,)33(,)3( )h x0( )h x()3h3min( )()4327h xh. 若min( )0h x，则min( )0h x，此时32241xx对任意0x不能恒成立，故必有min( )0h x，此时3minmin( )( )427h xh x，依条件有333412703 34027. 综上得33 3 . 下面检验端点33 3是否符合题意.当33 3时，1212()()fxfxxx3122212123 341xxx xx x312121233 3xxx xx x或2 312121253 3xxx xx x恒成立 . 由 于312121212121212122113333 3xxx xx xx xx xx xx xx x( 当31233x x时取等号 )，故33 3 符合题意，因而33 3 . 反思上述解法，总感到美中不足.因为在检验33 3 是否符合题意时得另起炉灶，检验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题， 关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即 PQ ？何时 PQ?，且 Q 比 P 多了区间 P 的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？2. 结论构建定理设( )yf x 是定义在连通开区间()I IR 上的二阶可导函数，其对应曲线C上任意两点的连线斜率的取值集合为P ，曲线 C 上任意一点处的切线斜率取值集合为Q ，则(1) PQ ；(2)当曲线 C 不存在拐点时，PQ ；(3) PQ?曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点；(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐...