1 / 16 化二次型为标准型的方法一、绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具， 着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本应属于函数讨论的范围， 然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确， 二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项， 即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。我们知道， 任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定，而任一实对称矩阵都可以化成一对角矩阵， 相应的任一实二次型都可以化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法：配方法和正交变换法；此外， 由于任意矩阵可以利用初等变换化为对角矩阵，因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。通过典型例题， 更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法。以下就是几种方法的简单介绍，并且又提出了一种新的方法：雅可比方法 。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是22ax2bxycyf . （ 1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度，作转轴（反时针方向转轴）''''xx cosy sinyx siny cos（2）把方程（ 1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（ 2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。设P 是 一 数 域 ， 一 个 系 数 在 数 域P 上 的12nx , x ,... , x的 二 次 齐 次 多 项 式22212n11112121n1n2222n2nnnnf(x ,x ,...,x)a x2a x x...2a x xa x...2a...
