§2 数列的综合应用 真题热身 1．(2011·四川)数列{an}的首项为 3，{bn}为等差数列且 bn＝ an＋1－an(n∈N*)．若 b3＝－2，b10＝12，则 a8 等于( ) A．0 B．3 C．8 D．11 解析 设数列{bn}的首项为 b1，公差为 d，由 b3＝－2，b10＝12， 得 b1＋2d＝－2，b1＋9d＝12，解得 b1＝－6，d＝2， ∴bn＝－6＋2(n－1)＝2n－8. bn＝an＋1－an， ∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋ (a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝b7＋b6＋b5＋…＋b1＋a1＝7×(－6＋2×7－8)2＋3＝3. B2．(2011·江西)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＋Sm＝ Sn＋m，且 a1＝1，那么 a10 等于 ( ) A．1 B．9 C．10 D．55 解析 Sn＋Sm＝Sn＋m，a1＝1，∴S1＝1. 可令 m＝1，得 Sn＋1＝Sn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝1. 即当 n≥1 时，an＋1＝1， ∴a10＝1. A3．(2011·广东)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4， 则此数列的公比 q＝________. 解析 由 a2＝2，a4－a3＝4 得方程组 a2＝2，a2q2－a2q＝4 ⇒ q2－ q－2＝0， 解得 q＝2 或 q＝－1. 又{an}是递增等比数列，故 q＝2. 2 4．(2011·浙江)若数列{n(n＋4)(23)n}中的最大项是第 k 项，则 k ＝________. 解析 由题意知 k(k＋4)(23)k≥(k－1)(k＋3)(23)k－1，k(k＋4)(23)k≥(k＋1)(k＋5)(23)k＋1， 解得 10≤k≤1＋ 10. k∈N*，∴k＝4. 4考点整合 1．根据数列的递推关系求数列的通项公式 (1)利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察、归纳猜想出 an的表达式，然后用数学归纳法证明． (2)当已知数列{an}中，满足 an＋1－an＝f(n)，且 f(1)＋f(2)＋… ＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项 an. (3)当已知数列{an}中，满足an＋1an ＝f(n)，且 f(1)·f(2)·…·f(n) 可求，则可用累积法求数列的通项 an. (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差数列、等比 数列)． 2．常见的数列求和的方法 (1)公式法求和 适合求等差数列或等比数列的前 n 项和．对等比数列利用 公式法求和时，一定注意公式 q 是否能取 1. (2)错位相减法 这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，主要用于求数列{anbn}的前 n 项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为...
