专题二数列与不等式综合题的解答数列问题是每年高考的必考内容 , 涉及选择题、填空题、解答题等多种题型 , 分值在 17 至 20 分之间 . 小题多是考查等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及前 n 项和公式等基础知识 , 大题多是考查数列的定义、数列的求和、数列的通项、有关数列问题的证明以及数列与函数、不等式、解析几何等知识的交汇问题 .解答数列问题时 , 既要熟记有关公式 , 能够运用基本方法解决问题 , 又要善于运用数列的性质进行巧解 . 此外 , 还要善于运用数列中蕴含的一些重要思想方法 , 例如 : 函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等 , 这些都是近几年高考经常考查的思想方法 .数列求和设数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 Tn,满足 Tn＝2Sn－n2,n∈N*. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 数列求和是近几年高考中的热点 , 基本题型一般先进行简单运算 , 再运用“倒序相加”、“错位相减”、“分项求和”等常用方法对数列求和 . 【解】 (1)当 n＝1 时,T1＝2S1－12. 因为 T1＝S1＝a1,所以 a1＝2a1－1,解得 a1＝1. (2)当 n≥2 时,Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1, 所以 Sn＝2Sn－1＋2n－1,① 所以 Sn＋1＝2Sn＋2n＋1,② ②－①得,an＋1＝2an＋2. 所以 an＋1＋2＝2(an＋2),即an＋1＋2an＋2 ＝2(n≥2). 当 n＝1 时,a1＋2＝3,a2＋2＝6,则a2＋2a1＋2＝2,所以当 n＝1 时也满足上式.所以{an＋2}是以 3 为首项,2 为公比的等比数列,所以 an＋2＝3·2n－1,所以 an＝3·2n－1－2. 等差数列与等比数列的综合问题已知{an}是单调递增的等差数列,首项 a1＝3,前 n 项和为 Sn,数列{bn}是等比数列,首项 b1＝1,且 a2b2＝12,S3＋b2＝20. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn＝Sncos(anπ)(n∈N*),求{cn}的前 n 项和 Tn. 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点 ,特别是等差、等比数列的通项公式 , 前 n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点 . 【解】 (1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q, 则 a2b2＝(3＋d)q＝12, S3＋b2＝3a2＋b2＝3(3＋d)＋q＝9＋3d＋q＝20,3d＋q＝11,q＝11－3d, 则(3＋d)(11－3d)＝33＋2d－3d2＝12, 即 3d2－2d－21＝0,(3d＋7)(d－3)＝0. {an}是单调递增的等差数列,∴d＞0, ∴d＝3,q＝2,an＝3＋(n－1)×3＝3n,bn...
