§2 矩阵与变换 真题热身 1．(2009·江苏)求矩阵 A＝3 22 1 的逆矩阵． 解 设矩阵 A 的逆矩阵为x yz w ， 则3 22 1 x yz w ＝1 00 1 ，即3x＋2z 3y＋2w2x＋z 2y＋w＝1 00 1 故 3x＋2z＝12x＋z＝03y＋2w＝02y＋w＝1，解得 x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3， 从而 A 的逆矩阵 A－1＝－1 22 －3 . 2．(2011·江苏)已知矩阵 A＝1 12 1 ，向量 β＝12 .求向量 α， 使得 A2α＝β. 解 A2＝1 12 1 1 12 1 ＝3 24 3 . 设 α＝xy ，由 A2α＝β，得3 24 3 xy ＝12 ， 从而 3x＋2y＝1，4x＋3y＝2， 解得 x＝－1，y＝2.所以 α＝－12. 考点整合 1．变换的复合与矩阵的乘法 (1)一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律． (2)矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)． (3)矩阵的乘法不满足消去律． 2．逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵 A、B，若有 AB＝BA＝E，则称 A 是可逆的，B 称为 A 的逆矩阵． (2)若二阶矩阵 A、B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1. (3)利用行列式解二元一次方程组． 3．特征值与特征向量 (1)设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使 Aα＝λα，那么 λ 称为 A 的一个特征值，而α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量． (2)从几何上看，特征向量经过矩阵 A 对应的变换作用后，仍与原向量共线，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当 λ＝0 时，特征向量就变换成零向量． 分类突破 一、几种常见的矩阵变换 例 1 试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出 该变换是什么变换． (1)1 00 1 方程为 y＝2x＋2； (2)－1 0 0 1 点 A(2,5)； (3)2 00 1 曲线方程为 x2＋y2＝4. 解 (1)所给方程表示的是一条直线． 设 A(x，y)为直线上的任意一点，经过变换后的点 为 A′(x′，y′)． 1 00 1...
