第 68 讲 抛物线 【学习目标】 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质． 2．理解数形结合的思想；掌握代数知识、平面几何知识在解析几何中的作用． 3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用． 【基础检测】 1．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16 相切，则 p 的值为( ) A.12 B．1 C．2 D．4 【解析】由题知抛物线的准线为 x＝－p2，圆心为(3，0)、半径为 4，由准线与圆相切得圆心到准线的距离 d＝3＋p2＝4，解得 p＝2. C 2．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在直线 3x－4y－12＝0 上，那么抛物线的方程是( ) A．y2＝－16x B．y2＝12x C．y2＝16x D．y2＝－12x 【解析】由题设知直线 3x－4y－12＝0 与 x 轴的交点(4，0)即为抛物线的焦点，故其方程为 y2＝16x. C 3．已知点 A(3，4)，F 是抛物线 y2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM|＋|MF|最小时，M 点坐标是( ) A．(0，0) B．(3，2 6) C．(2，4) D．(3，－2 6) 【解析】由题知点 A 在抛物线内．设 M 到准线的距离为|MK|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，当|MA|＋|MK|最小时，M 点坐标是(2，4)． C 4．已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A、B 两点，|AB|＝12，P 为 C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A．18 B．24 C．36 D．48 【解析】设抛物线方程为 y2＝2px，当 x＝p2时，y2＝p2， ∴|y|＝p.∴p＝|AB|2 ＝122 ＝6，又点 P 到 AB 的距离始终为 6， ∴S△ABP＝12×12×6＝36.故选 C. C 【知识要点】 1．抛物线的定义 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离______的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程、图形及几何性质 见下表： 相等 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图 形 焦点 Fp2，0 准线 x＝p2 范围 ① x≥0，y∈R ② x≤0，y∈R ③ x∈R，y≥0 ④ x∈R，y≤0 ,02PF 0, 2PF 0,2PF 2Px 2Py 2Py 对称 轴 ⑤________ ⑥_________ 顶点 O(0，0) O(0，0) 离心 率 e＝1 e＝1 开口 ⑦____ ⑧____ ⑨____ ⑩____ 焦半 径 ⑪ |PF|＝p2＋x0 ⑫ |PF|＝p2＋|x0| ⑬ |PF|＝p2＋y...
