证明不等式 高二数学课件第二讲证明不等式的基本方法[整理六套]人教版 高二数学课件第二讲证明不等式的基本方法[整理六套]人教版VIP免费

一、比较法• 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—判断符号 作商—变形—判断和 1 的关系• 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。例 1 已知 a ， b 都是正数，且 a≠b ，求证： a3+b3＞ a2b+ab2例 2 如果用 a kg 白糖制出 b kg 糖溶液，则其浓度为 a/b 。若在上述溶液中再添加 m kg 白糖，此时溶液的浓度增加到（ a+m)/(b+m). 请将这个事实抽象为数学问题，并给出证明。例 3 已知 a ， b 是正数，求证： aabb≥abba二、综合法 从已知条件和不等式的性质、已经证明过的不等式 ( 例如算术平均数与几何平均数的定理 ) 等出发，推导出所要证明的不等式成立 , 这种证明方法叫做综合法 .综合法又叫顺推法或由因导果法例 1. 已知cba,,是不全相等的正数 , 求证abcbacacbcba6)()()(222222证明： 0,222abccb①abccba2)(22②abcacb2)(22同理③abcbac2)(22不全相等，因为cba,,abbaacacbccb2,2,2222222所以三式中不能全取“ =” 号，从而①②③式也不能全取“ =” 号，abcbacacbcba6)()()(222222例 2 已知 a1,a2,a3,…,anR∈+, 且 a1a2a3…an=1, 求证： (1+a1)(1+a2)(1+a3)…(1+an)≥2n三、分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判定这些条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定所求证的不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。 分析法的思路是“执果索因”，未知 已知 即从求证的不等式出发，不断地充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式为止。2736.例3 求证 22222bb cc aabcabc 2例4 已知a, b, c>0a求证:四、反证法 先假设结论的命题否定成立，再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结论成立的方法。1.xy02.1x 12yxyyx例 已知 ，，且试证：，中至少有一个小于例 2 、已知 a + b + c > 0 ， ab + bc + ca > 0 ， abc > 0 ， 求证： a, b, c > 0 证：设 a < 0, abc > 0, ∴bc < 0 又由 a + b + c > 0, 则 b + c > a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 若 a = 0 ，则与 abc > 0 矛盾， ∴ 必有 a...