9.7.2 面面垂直的性质南京田家炳高级中学高二数学组一、旧课复习 :(1) 二面角的定义 (2) 两个平面垂直的定义 (3) 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 二 . 新课讲解 : 两个平面垂直的性质定理[ 情境问题 ] ： 为什么墙面和地面垂直的时候，墙体就不容易倒塌呢？ 将一本书放置在桌面上，且使书所在平面与桌面垂直．当书面沿书面与桌面的交线转动时，它会怎么样呢？[ 探索研究 ] ： 如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？ 由物理学原理知，它会倒塌．两个平面垂直的性质定理如图 2 ， α⊥β ， AB⊂α ， ABCD⊥，α∩β=CD ，求证： AB⊥β 。[ 分析 ] 在 β 内作 BECD⊥。要证 AB⊥β ，只需证 AB 垂直于 β 内的两条相交直线就行。 而我们已经有 ABCD⊥，只需寻求另一条就够了。 而我们还有 α⊥β 这个条件没使用，由 α⊥β 定义，则∠ ABE 为直角，即有 ABBE⊥，也就有 AB⊥β ， 问题也就得到解决． 两个平面垂直的性质[ 两个平面垂直的性质定理 1] 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． [ 两个平面垂直的性质定理 2] 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 两个平面垂直应用举例例题 如图 4 ， AB 是⊙ O 的直径，点 C 是⊙ O 上的动点，过动点 C 的直线 VC 垂直于⊙ O 所在平面， D 、 E 分别是 VA 、VC 的中点，直线 DE 与平面 VBC 有什么关系？试说明理由．解：由 VC 垂直于⊙ O 所在平面，知 VC⊥AC ， VCBC⊥，即 ∠ ACB 是二面角 A-VC-B 的平面角．由∠ ACB 是直径上的圆周角，知 ∠ ACB =90° 。 因此，平面 VAC⊥ 平面 VBC ．由 DE 是△ VAC 两边中点连线，知 DEAC∥，故DEVC⊥．由两个平面垂直的性质定理，知直线 DE 与平面 VBC 垂直。注意：本题也可以先推出 AC 垂直于平面 VBC ，再由 DE∥AC ，推出上面的结论。［总结提炼］ ☆ 已知面面垂直易找面的垂线☆ 在解题时注意应用☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手☆ 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的1 ．给出下列四个命题： ①垂直于同一个平面的两个平面平行； ...
