第 3 节 平面向量的数量积( 对应学生用书第 63 ～ 64 页 )1 ．数量积的定义已知两个非零向量 a 与 b ，其夹角为 θ. 我们把数量 |a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积( 或内积 ) ，记作 a·b ，即 a·b ＝ |a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为 0.2 ．数量积的几何意义(1) 向量的投影： |a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，当 θ 为锐角时，它是正数，当 θ 为钝角时，它是负数；当 θ 为直角时，它是 0.(2)a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos θ 的乘积．3 ．数量积的运算律已知向量 a 、 b 、 c 和实数 λ ，则：(1) 交换律： a·b ＝ b·a ；(2) 结合律： (λa)·b ＝ λ(a·b) ＝ a·(λb) ；(3) 分配律： (a ＋ b)·c ＝ a·c ＋ b·c.质疑探究：若非零向量 a ， b ， c 满足① a·c ＝ b·c ，则 a ＝ b 吗？② (a·b)·c ＝a·(b·c) 恒成立吗？提示：①不一定有 a ＝ b ，因为 a·c ＝ b·c⇔c·(a － b) ＝ 0 ，即 c 与 a － b 垂直，但不一定有 a ＝ b. 因此数量积不满足消去律．② 因 为 (a·b)·c 与 向 量 c 共 线 ， (b·c)·a 与 向 量 a 共 线 ． 当 c 与 a 不 共 线 时(a·b)·c≠a·(b·c) 即向量的数量积不满足结合律．4 ．向量数量积的性质设 a 、 b 都是非零向量， e 是与 b 方向相同的单位向量， θ 是 a 与 e 的夹角，则(1)e·a ＝ a·e ＝ |a|cos θ.(2)a⊥b⇔a·b ＝ 0.(3) 当 a 与 b 同向时， a·b ＝ |a||b| ；当 a 与 b 反向时， a·b ＝－ |a||b| ；特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. (4)cos θ＝ a·b|a||b|. (5)|a·b|≤|a||b|. 5．用平面向量数量积的坐标表示表达相关问题 (1)若非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2. (2)夹角公式：若非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝x1x2＋y1y2x12＋y12 x22＋y22. (3)距离公式：若表示向量 a 的有向线段的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|a|＝x2－x12＋y2－y12，这就是平面内两点间的距离公式． (4)垂直关系：设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔ a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0....
