第六章 不等式第 讲（第三课时）题型 6 用反证法证不等式1. 已知 a 、 b 、 c(0∈， 1) ，求证： (1-a)b ， (1-b)c ， (1-c)a 不能同时大于 .证法 1 ：假设三式同时大于 ，即有 (1-a)b ＞ ， (1-b)c ＞ ， (1-c)a ＞ ,三式同向相乘，得 (1-a)a(1-b)b(1-c)c ＞ .1414141414164又 (1-a)a≤( )2= ， 同理， (1-b)b≤ ， (1-c)c≤ ， 所以 (1-a)a(1-b)b(1-c)c≤ ， 因此与假设矛盾，故结论正确 . 证法 2 ：假设三式同时大于 . 因为 0 ＜ a ＜ 1 ，所以 1-a ＞ 0 ，1-2aa14141414164点评：证明有关“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定词的命题，可采用反证法 . 反证法的证题步骤是：反设——推理——导出矛盾 ( 得出结论 ).所以 同理， 都大于 . 三式相加得 ＞ ，矛盾 . 故假设不成立，从而原命题成立 . (1- )11(1- ).242aba b(1- )(1- )22bcca、123232已知 a,b,c∈R, 求证： a2-2c,b2-2a,c2-2b三个式子中至少有一个不小于 -1. 证明：假设三式都同时小于 -1 ，即 a2-2c ＜ -1 ， b2-2a ＜ -1 ， c2-2b＜ -1 ，三式相加， 得 a2-2c+b2-2a+c2-2b ＜ -3 ， 所以 a2-2c+b2-2a+c2-2b+3 ＜ 0 ， 即有 (a-1)2+(b-1)2+(c-1)2＜ 0 ， 这与 (a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0 ，矛盾 . 故结论成立 . 题型 7 用换元证不等式2. 已知 a 、 bR∈， a2+b2≤4 ，求证： |3a2-8ab-3b2|≤20. 证明：因为 a 、 bR∈， a2+b2≤4 ， 所以可设 a=rcosθ,b=rsinθ, 其中 0≤r ≤2 ， 所以 |3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ| =r2|5cos(2θ+arctan )|≤5r2≤20. 所以原不等式成立 .点评：换元法一般有代数式的整体换元、三角换元等换元方式 . 换元时要注意新变元的取值范围，以及换元后的式子的意义 . 常用的换元有：若 x2+y2=a2，可设 x=acosθ ， y=asinθ ；若 可设 x=acosθ ，y=bsinθ ；若 x2+y2≤1 ，可设 x=rcosθ ， y=rsinθ(0≤r≤1).22221xyab ，已知 1≤x2+y2≤2 ，求证： ≤ x2-xy+y2≤3. 证明 : 设 x=rcosθ,y=rsinθ, 且 1≤r≤2,θ∈R,则 由 -1≤sin2θ≤1 ，得 ≤ 1- sin2θ≤ . 又 1≤r2≤2 ，所以 ≤ r2(1- sin2θ)≤3 ， 即 ≤ x2-xy+y2≤3.2222222222-cos-cos sinsin1-sin 2(1-sin 2 )22xxyyrrrrrr，12123...
