等差数列的概念及其通项公式 1 、等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列这个常数就叫做等差数列的公差,常用字母“ d” 表示。注意:⑴ 公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; ⑵ 对于数列 { }, 若 - =d ( 与 n 无关的数或字母 ) , n≥2 , nN∈,则此数列是等差数列, d 为公差 nanana1na 2 、等差数列的通项公式dnaan)1(1当 d≠0 时,这是关于 n 的一个一次函数。3 、等差中项 如果 a,A , b 成等差数列,那么 A 叫做a 与 b的等差中项;且 A 2ab 等差数列的图象 数列: -2 , 0 , 2 , 4 , 6 ,8 , 10 ,…12345678910123456789100●●●●●●●24nan 4 .等差数列的通项公式: 等差数列通项公式的特征: 等差数列的通项公式为关于项数 n的次数不高于一次的多项式函数即 an=An+B( 若 {an} 为常数列时 ,A=0). 5 .等差数列的单调性: 由等差数列的定义知: an+1- an=d, 当 d > 0 时, an+1 > an 即 {an} 为递增数列;当 d=0 时, an+1=an 即 {an} 为常数列;当 d < 0 时, an+1 < an 即 {an} 为递减数列 . 思考: 如果一个数列的通项公式为 ,其中 都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗? bknanbk,bk,是 【例 2 】求出下列等差数列中的未知项:(1)3,a,5; (2)3,b,c,-9. 【解】(1)根据题意,得a-3=5-a, 解得a=4. (2)根据题意,得b-3=c-b,c-b=-9-c, 解得b=-1,c=-5 【例 3 】( 1 )求等差数列 8 , 5 , 2… 的第 20 项?( 2 ) 401 是不是等差数列 5 , 9 , 13 ,…的项?如果是,是第几项? 解: (1) 因为: d=5-8=-3 , a1=8所以 an=8+(n-1)(-3)=-3n+11a20=-3(20)+11=-49(2) 由题意可得: an=5+(n-1)4=4n+1令 401=4n+1 解得: n=100所以 401 是该数列的第 100项 【例 5 】某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成.已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm,求中间四个滑轮的直径. 【解】用 {an} 表示滑轮的直径所构成的等差数列,且 a1=15, a6=25. 由等差数列的通项公式,得: a6= a1+(6-1)d, 即25=15+5d,解得d=2. 由此得 :a2=17, a3=19,a4=21, a5=23. 答 中间四个滑轮的直径顺次为17cm,19cm,21cm,23cm. 解:623523060500)1(1176ddadaaaZd 4d(2) 由 (1) 可得:an=-4n+27 解:得由44221221nnnnaaaa构成等差数列}{2na344)1(1)1(2212nndnaan又 an >0