第 1 讲 等差数列与等比数列 考点 1 等差数列、等比数列的基本运算1．通项公式等差数列：an＝a1＋(n－1)d；等比数列：an＝a1·qn－1.2．求和公式等差数列：Sn＝＝na1＋d；等比数列：Sn＝＝(q≠1)．[例 1] (1)[2019·全国卷Ⅰ]记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝0，a5＝5，则( )A．an＝2n－5 B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n(2)[2019·全国卷Ⅲ]记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a3＝5，a7＝13，则 S10＝________.【解析】 (1)本题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．方法一 设等差数列{an}的公差为 d， ∴解得∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选 A.方法二 设等差数列{an}的公差为 d， ∴解得选项 A，a1＝2×1－5＝－3；选项 B，a1＝3×1－10＝－7，排除 B；选项 C，S1＝2－8＝－6，排除 C；选项 D，S1＝－2＝－，排除 D.故选 A.(2)设等差数列{an}的公差为 d，则由题意，得解得所以 S10＝10×1＋×2＝100.【答案】 (1)A (2)100等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量 a1和公差 d(公比 q)．(2)列、解方程组：把条件转化为关于 a1和 d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.『对接训练』1．[2019·河北衡水中学摸底]已知等差数列{an}的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S10＝100，则 a7的值为( )A．11 B．12C．13 D．14解析： {an}的公差为 2，S10＝100，∴10a1＋90＝100，∴a1＝1，a7＝13，故选 C.答案：C2．[2019·湖南重点高中联考]已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，公差d≠0，a1，a2，a5成等比数列，则 S5＝( )A．15 B．20C．21 D．25解析：由已知得 a＝a1a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，又 d≠0 得 d＝2，∴S5＝5＋×2＝25，故选 D.答案：D 考点 2 等差、等比数列的判定与证明1．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明 an＋1－an(n∈N*)为一常数；(2)利用等差中项，即证明 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．2．证明数列{an}是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明(n∈N*)为一常数；(2)利用等比中项，即证明 a＝an－1an＋1(n≥2)．[例 2] [2019·广东广州调研测试]设 Sn是数列{an}的前 n 项和，已知 a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；(2)求数列{an}的通...
