一轮复习讲义一轮复习讲义空间向量及其运算 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有 和 的量叫做空间 向量． (2)相等向量：方向 且模 的向量． (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 忆 一 忆 知 识 要 点大小 方向 相同 相等 平行或重合 要点梳理2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，b 与 a 的充要条件是 . 推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是： OP→ ＝OA→ ＋ta ① 其中 a 叫直线 l 的方向向量，t∈R，在 l 上取 AB→ ＝a，则①可化为OP→ ＝ 或OP→ ＝ (1－t)OA→ ＋tOB→ . 忆 一 忆 知 识 要 点存在 实数 λ，使得 b＝λa OA→ ＋tAB→ 要点梳理(2)共面向量定理的向量表达式：p＝ ，其中 x，y∈R，a，b 为不共线向量，推论的表达式为MP→ ＝xMA→ ＋yMB→ 或对空间任意一点 O，有OP→ ＝ 或OP→ ＝xOM→ ＋yOA→ ＋zOB→ ，其中 x＋y＋z＝ . (3)空间向量基本定理 如果三个向量 e1，e2，e3 不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得 p＝ . 忆 一 忆 知 识 要 点OM→ ＋xMA→ ＋yMB→ 1xe1＋ye2＋ze3 xa＋yb 要点梳理3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA→ ＝a，OB→＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 ，其范围是 ，若〈a，b〉＝π2，则称 a 与 b ，记作 a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a，b，则 叫做向量 a，b 的数量积，记作 ，即 ． 忆 一 忆 知 识 要 点〈a，b〉 0≤〈a，b〉≤π 互相垂直 |a||b|cos〈a，b〉 a·b a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 要点梳理(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝ ； ②交换律：a·b＝ ； ③分配律：a·(b＋c)＝ . 4．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则 a·b＝ . 忆 一 忆 知 识 要 点λ(a·b) b·a a·b＋a·c a1b1＋a2b2＋a3b3 要点梳理(2)共线与垂直的坐标表示 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则 a∥b⇔ ⇔ ， ， ， a⊥b⇔ a·b＝0⇔ (a，b 均为非零向量)． (3)模、...
