第六章 不等式、推理与证明 第 41 讲 简单的线性规划问题 【学习目标】 1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 2．掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合． 【基础检测】 1．在坐标平面内，不等式组y≥2|x|－1y≤x＋1所表示的平面区域的面积为( ) A．2 2 B.83 C.2 23 D．2 【解析】作出不等式组所表示的可行域(如图)，通过解方程可得 A－23，13 ，B(2，3)，C(0，－1)，E(0，1)，如图可知，S△ABC＝S△ACE＋S△BCE＝12×|CE|×(xB－xA)＝83. Ｂ 2．设变量 x，y 满足x－y≤10，0≤x＋y≤20，0≤y≤15，则 2x＋3y 的最大值为( ) A．20 B．35 C．45 D．55 【解析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，然后求值．不等式组表示的区域如图所示，所以过点A(5，15)时 2x＋3y 的值最大，此时 2x＋3y＝55. Ｄ 3．已知 O 是坐标原点，点 A(－1，1)，若点 M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→ ·OM→ 的取值范围是________ 。 【解析】OA→ ·OM→ ＝(－1，1)·(x，y)＝y－x，画出线性约束条件x＋y≥2，x≤1，y≤2表示的平面区域，如图所示．可以看出当 z＝y－x过点 D(1，1)时有最小值 0，过点 C(0，2)时有最大值 2，则OA→ ·OM→的取值范围是[0，2]． ［０ , ２ ］ 4．某实验室需购化工原料 106 千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35 千克，价格为 140元；另一种是每袋 24 千克，价格是 120 元．在满足需要的条件下，最少需花费______元． 【解析】设需要 35 千克的 x 袋，24 千克的 y 袋，则总的花费为 z 元，则35x＋24y≥106，x＞0时，且x∈Z，y＞0时，且y∈Z. 且 z＝140x＋120y.由图解法求出 zmin＝500，此时 x＝1，y＝3. ５００ 【知识要点】 1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，__________边界直线． 不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域(半平面) _____边界直线． (2)在平面直角坐标系中，设直线 Ax＋By＋C＝0(B 不为0)及点 P(x0，y0)，则 ...
