第 4 课时 基本不等式ADCBHGFE ab问:那么它们有相等的情况吗?何时相等?一 、探究:由图易得 :222abab即 :22bac)(时,取等号当且仅当ba 的大小关系与 abba222 结论:一般地,对于任意实数 a 、 b ,我们有 当且仅当 a=b 时,等号成立222aba b问 5 :当 a,b 为任意实数时, 还成立吗?形数此不等式称为重要不等式222aba b2. 代数意义:几何平均数小于等于算术平均数2. 代数证明 :3. 几何意义:半弦长小于等于半径(0,0)2ababab(当且仅当 a=b 时,等号成立)二、新课讲解算术平均数几何平均数3. 几何证明 :从数列角度看 : 两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项1. 思考 : 如果当 用 去替换 中的 , 能得到什么结论 ? 0,0ba,ab222aba bba,基本不等式基本不等式:当且仅当 a =b 时,等号成立 .当且仅当 a=b 时,等号成立 .222(abab aR、b)重要不等式:(0,0)2ababab注意:( 1 )不同点:两个不等式的适用范围不同。( 2 )相同点:当且仅当 a=b 时,等号成立。( 2 )相同点:当且仅当 a=b 时,等号成立。构造条件三、应用0,02ababab()20,0abab ab()例 1 、若 , 求 的最小值 .10 xyxx 变 3: 若 , 求 的最小值.13 3xyxx 变 2: 若 , 求 的最小值 .0,0 baabyab发现运算结构,应用不等式问 : 在结论成立的基础上 , 条件“ a>0,b>0” 可以变化吗?变 1: 若 求 的最小值.,0xxxy23 0,02ababab()0,02ababab2()三、应用例 2 、已知 , 求函数 的最大值 .01 (1)xyxx变式 : 已知 , 求函数 的最大值 .10 (12 )2xyxx发现运算结构,应用不等式应用要点:一正数 二定值 三相等结论 1 :两个正数积为定值,则和有最小值结论 2 :两个正数和为定值,则积有最大值3. 已知直角三角形的面积等于 50 ,两条直角边各为多少时 , 两条直角边的和最小,最小值是多少?4. 用 20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应怎样折? 四 、巩固.,,3,6,.2.,,,6,.1nmnmmnnmnmmnnmnm此时值有最则满足若正数此时值有最则满足若正数大933小262322100mxy例 3 .用篱笆围一个面积为 的矩形菜园 , 问该矩形的长、宽各为多少时 , 所用篱笆最短,最短的篱笆是多少 ?2...