1排列、组合、二项式定理和概率 第 十 一 章 2 1. 已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1) 求 f(x) 的单调递减区间； (2) 若 f(x) 在区间［ -2 ， 2 ］上的最大值为 20 ，求它在该区间上的最小值 . 题型 3 利用导数研究函数的最值第二课时11.4 导数的应用 3 解： (1)f ′(x)=-3x2+6x+9. 令 f ′(x) ＜ 0 ，解得 x ＜ -1 或 x＞ 3 ，所以函数 f(x) 的单调递减区间为 (-∞ ， -1)(3∪， +∞). (2) 因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a ， f(2)=-8+12+18+a=22+a ， 所以 f(2) ＞ f(-2). 因为在 (-1 ， 3) 上， f ′(x) ＞ 0 ， 所以 f(x) 在［ -1 ， 2 ］上单调递增 . 4 又由于 f(x) 在［ -2 ， -1 ］上单调递减， 因此， f(2) 和 f(-1) 分别是 f(x) 在区间 ［ -2 ， 2 ］上的最大值和最小值 . 于是有22+a=20 ，解得 a=-2. 故 f(x)=-x3+3x2+9x-2. 因此 f(-1)=1+3-9-2=-7. 即函数 f(x) 在区间［ -2 ， 2 ］上的最小值为 -7. 点评：求函数在指定区间［ a ， b ］上的最值，一般先求区间［ a ， b ］上的极值点，然后比较极值点与区间端点函数值的大小 . 5 函数 f(x)=-3x4+6x2-1 在［ -2 ， 2 ］上的最大值为 ( ) A. -1 B. 0 C. -25 D. 2 解：令 f ′(x)=-12x3+12x=0 ，解得 x=0 或 x=±1 ， 又 f(±2)=-25 ， f(±1)=2 ， f(0)=-1 ， 所以［ f(x) ］ max=2 ，故选 D.拓展练习拓展练习D 6 2. 已知函数 f(x)=x4-4x3+mx2-1 在区间［ 0 ， 1 ］上是增函数，在区间［ 1 ， 2 ］上是减函数，而 g(x)=nx-1. 若方程 f(x)=g(x) 恰好有四个不等的解，求 n 的取值范围 . 解：易得 f ′(x)=4x3-12x2+2mx ， 由单调性得 f ′(1)=0 ，所以 m=4. 从而由 f(x)=g(x) 得 x=0 或 n=x3-4x2+4x ，(*) 可得 (*) 式有三个不为 0 的不等根 . 题型 4 利用导数研究函数的图像 7所以 0 ＜ n ＜ , 即 n 的取值范围为 (0 ， ). 设 y1=n,y2=x3-4x2+4x, 则两函数 y1、 y2的图象有三个不同的交点 , 又 y′2=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2)=0, 所以 x= 或 x=2, 易得 x= 时 ,y2 取极大值 , 为 ;x=2 时 , y2取极小值 , 为 0. 所以函数 y1、 y2的图象为： 2332273227322723 8 点评： 方程解的问题可以转化为函数图象交点问题，通过导数研究函数图...
