第 3 讲 平面向量 感悟高考 明确考向 （2010·天津）如图,在△ABC 中,AD⊥AB, ADACAD则,1||,3BDBC .解析 设 BD＝a，则 BC＝ 3a，作 CE⊥BA 交 BA 的延长线于 E，可知∠DAC＝∠ACE，在 Rt△ABD 中，sin B＝ 1BD＝1a.在 Rt△BEC 中，CE＝BC·sin B＝ 3a·1a＝3， ∴cos ∠DAC＝cos ∠ACE＝ 3AC. ＝AD·AC· 3AC＝ 3. DACACADACADcos||||答案 3 考题分析 本题考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积．题目为中档题难度． 易错提醒 .)1(线性表示用不能把ADABAC、.1,0)2(2ADADAB忽视主干知识梳理 1．向量的概念 (1)零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意 非零向量都共线，记为 0. (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的 单位向量为 a|a|. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． (4)如果直线 l 的斜率为 k，则 a＝(1，k)是直线 l 的 一个方向向量． (5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影． 2．向量的运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础， 应熟练掌握其运算规律． (2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向 量．要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的 差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去 律．a·b 的运算结果不仅与 a，b 的长度有关，而且 也与 a，b 的夹角有关，即 a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a∥b ⇔ a＝λb ⇔ x1y2－x2y1＝0； a⊥b ⇔ a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0. 热点分类突破 题型一 平面向量的数量积及应用 例 1 已知|a|＝4，| b |＝3，(2 a－3 b)·(2 a＋b)＝61. (1)求 a 与 b 的夹角； (2)求| a＋b |； 求△ABC 的面积. 思维启迪 ,,)3(ACAB若ab(1)应用向量数量积的变形公式求解，即 cos〈a，b〉＝ a·b|a|| b |； (2)应用公式| a＋b |＝ (a＋b)2即可求解； (3)应用公式 S＝12| a || b |sin〈a，b〉求解，关键是求 sin〈a，b〉的值． 向量的数量积公式 → 向量的夹角 → 向量的模 解 (1)由(2a－3 b)·(2 a＋b)＝61， 得 4| a |2－4 a·b－3| b |2＝61， | a |＝4，| b |＝3，代入上式得 a·b=－6， ∴cos θ＝ a·b|a||b|＝ －64×3＝－12. 又 0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. (2)|...
