第 15 讲 反比例函数 考点一 一般地，函数 y＝kx或 y＝kx－1(k 是常数，k≠0)叫做反比例函数． 1．反比例函数 y＝kx中的kx是一个分式，所以自变量 x≠0，函数与 x 轴、y 轴无交点． 2．反比例函数解析式可以写成 xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量 x 与其对应函数值 y 之积，总等于已知常数 k. 反比例函数的定义 考点二 反比例函数的图象和性质 1．反比例函数 y＝kx(k≠0)的图象是双曲线 因为 x≠0，k≠0，相应地 y 值也不能为 0，所以反比例函数的图象无限接近 x 轴和 y 轴，但永不与 x 轴、y 轴相交． 2．反比例函数的图象和性质 反比例函数 y＝kx(k≠0)的图象总是关于原点对称的，它的位置和性质受 k 的符号的影响． (1)k＞0⇔ 图象(双曲线)的两个分支分别在一、三象限，如图①所示．图象自左向右是下降的⇔ 当 x＜0 或 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小(或 y 随 x 的减小而增大)． (2)k＜0⇔ 图象(双曲线)的两个分支分别在二、四象限，如图②所示．图象自左向右是上升的⇔ 当 x＜0 或 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大(或 y 随 x 的减小而减小)． 考点三 由于反比例函数的关系式中只有一个未知数，因此只需已知一组对应值就可以． 待定系数法求解析式的步骤： ①设出含有待定系数的函数解析式； ②把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程求出待定系数． 反比例函数解析式的确定 考点四 反比例函数 y＝kx(k≠0)中 k 的几何意义：双曲线 y＝kx(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为|k|. 理由：如图①和②，过双曲线上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PA、PB 所得的矩形 PAOB的面积 S＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|； y＝kx，∴xy＝k，∴S＝|k|，即过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形面积均为|k|，同理可得 S△OPA＝S△AOB＝12|xy|＝12|k|. 反比例函数图象中比例系数 k 的几何意义 考点五 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 反比例函数的应用 (1)(2010·桂林)若反比例函数 y＝kx的图象经过点(－3,2)，则 k 的值为( ) A．－6 B．6 C．－5 D．5 (2)(2010·宁波)已知反比例函数 y＝1x，下列结论不正确．．．的是( ) A．图象经过点(1,1) B．图象在第一、三象限 C．当 x>1 时，0
