双曲线的标准方程及其几何 性质一、双曲线的标准方程及其几何性质. 1．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数( 大于零，小于｜ F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线。两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c 表示，常数用2 a 表示。(1) 若｜ MF1｜- ｜MF2｜=2 a 时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线. (2) 若｜ MF1｜- ｜MF2｜=-2 a 时，曲线只表示焦点F1 所对应的一支双曲线. (3) 若 2a =2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线. (4) 若 2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程：22ax-22by=1( a ＞0,b ＞0) 表示焦点在x 轴上的双曲线；22ay-22bx=1( a ＞0,b ＞0) 表示焦点在y 轴上的双曲线 . 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2 的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上. 3. 双曲线的简单几何性质：标准方程22221xyab（0,0ab）22221yxab（0,0ab）图象, ,a b c 关系222abc范围||,xa yR||,ya xR顶点(,0)a(0,)a对称性关于,x y 轴成轴对称、关于原点成中心对称渐近线byxaayb离心率(1)cea焦点(,0)Fc(0,)Fc等轴双曲线： x2-y2＝ a2( a ≠0), 它的渐近线方程为y＝±x, 离心率 e＝2 . 4. 直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。（ 1）通常消去方程组中变量y ( 或 x ) 得到关于变量x ( 或 y ) 的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有：0直线与双曲线相交于两个点；0直线与双曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点．（ 2）若得到关于x ( 或 y ) 的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3) 直线 l 被双曲线截得的弦长2212))(1(xxkAB或2212))(11(yyk，其中 k是直线 l 的斜率，),(11yx，),(22yx是直线与双曲线的两个交点A ， B 的坐标，且212212214)()(xxxxxx，21xx，21xx可由韦达定理整体给出．二、 例题选讲例 1、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为 () A．x2－y2＝1 B．x2－y2＝2 C． x2－ y2＝2 D．x2－y2＝12解析： 由题意，设双曲线方程为x2a2－y2a2＝1(a>0)，则 c＝2a，渐近线 y＝x，∴|2a|2＝2，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2. 答案： B例 2、...
