1 / 7 向量三点共线定理及其扩展应用详解一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用一、问题的提出及证明. 1、向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：.O AxOByOC （O为平面内任意一点），其中1xy. 那么1xy、1xy时分别有什么结证？并给予证明. 结论扩展如下： 1、如果 O为平面内直线 BC外任意一点，则当1xy时 A 与 O点在直线 BC同侧，1xy时， A与 O点在直线 BC的异侧，证明如下：设 O AxOByOC且 A 与 B、C不共线，延长 OA与直线 BC交于 A1点设1O AO A（≠0、≠1）A1 与 B、C共线则 存在两个不全为零的实数m、n 1O Am O Bn O C且1mn则OAmOBnOCmnOAOBOCmx、ny1mnxy（1）1 则1xy则111OAOAOAA 与 O点在直线 BC的同侧（如图 [1] ）（2）0 , 则101xy，此时 OA 与1OA 反向 A与 O在直线 BC的同侧（如图 [2] ）图[2] B C A1O A O A1B C A 图 [1] 2 / 7 （3）1o，则1xy此时111OAOAOA A 与 O在直线 BC的异侧（如图 [3] ）图[3] 2、如图 [4] 过 O作直线平行 AB，延长 BO、AO、将 AB的 O侧区域划分为 6 个部分，并设 OPxOAyOB , 则点 P落在各区域时， x 、 y 满足的条件是：（Ⅰ）区：0001xyxy（Ⅱ）区：0001xyxy（Ⅲ）区：0001xyxy（Ⅳ）区：0011xyxy（Ⅴ）区：00xy（Ⅵ）区：0010xyxy（证明略）二、用扩展定理解高考题. （1）如图[5] OMAB ，点 P在由射线 OM , 线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且 OPxOAyOB ，则实数对（ x 、 y ）可以是⋯⋯（） A.（ 14， 34） B.（23， 23） C.（14， 34） D.（15， 75）解：根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理，则0x，且1Oxy，则选 C （2）如图 [5] OMAB ，点 P 在由射线 OM ，线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OPxOAyOB ，则 x 的取值范围是 .当12x时， y 的取值范围是 . 解：根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有：0x，且当12x，有：1Oxy，即1131222Oyy答案为：0x，（ 12， 32）二、向量共线定理的几个推论及其应用人教版《数学》（必修）第一册（下）P115 面介绍了一个定理：向量b 与非零向量 a 共线有且仅A B C A1O A B O ⅢⅣⅤⅥⅠⅡM B A O P 图[4]图 [5]3 / 7 有一个实数，使 b =a . 谓之“向量共线定理”. 以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些...
