1 第五章向量空间向量空间或称线性空间是一个重要的代数系统（定义了代数运算的集合），现代数学所涉及的欧氏空间、U 空间、希尔伯特空间等都是建立在向量空间的基础上的. 我们知道 ,在 n 元向量集和nm矩阵集中 , 都分别定义了加法和数乘运算, 并且就这两种运算的基本性质而言, 在形式上是完全一样的. 向量空间就是对这类集合的共性的抽象. 学习向量空间的理论, 不仅有助于深化对矩阵理论、线性方程组理论等内容的理解, 同时也为后面两章内容的讨论奠定了基础. 除此之外 , 向量空间的理论和方法在自然科学、工程技术等领域都有一定的应用. 本章重点是向量空间的定义、基、内积、正交矩阵等. 5.1向量空间的概念定义 1设 V 是一个非空集 , F 是一个数域．如果：1) V 中定义了一个加法．、V , V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为与的和 ,记为. 2) F 到V 有一个数量乘法．kF ,V ,V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为 k 与的数量乘积 ,记为 k. 3) 加法与数量乘法满足以下算律：、、V ,k 、 lF1=；2()=()；3V ,称为 V 的零元 ,有=；4V ,称为的负元 ,有()= ；5kkk)(；6lklk)(；7)()(lkkl；81, 那么称 V 是数域 F 上的一个向量空间. 向量空间 V 的元称为向量 .定义 1 中的条件 1)和 2)可以合并为 :FlkV、、,,有Vlk.由于运算是线性的,也将向量空间称为线性空间. 例 1 nF为数域 F 上所有 n 元向量构成的集,对向量的加法和数乘,nF是 F 上的一个向量空间 . 例 2 )(},|){()(FMFaaFMijnmij对矩阵的加法和数量乘法构成F 上的一个向量空间 .例 3 在解析几何里 , 平面或空间中从原点出发的一切向量对向量的加法和实数与向量的乘法都构成实数域上的向量空间. 分别记为32,VV.例 4 令],[baC为定义在区间],[ba上的一切连续函数所构成的集. 对函数的加法, 实数与函数的乘法,],[baC是实数域上的向量空间.例 5 复数域 C 是实数域 R 上的向量空间 . 任意数域都是它自身上的向量空间.由定义 1, 可以推出向量空间V 的如下几个性质：1. 在向量空间 V 中,零向量是唯一的. 事实上 ,若10 与20 都是 V 的零向量 ,便有22110000.2. V 中每一向量的负向量是唯一的. 事 实 上 ,V , 若21,都 是的 负 向 量 , 即 有0,021, 那 么2 222121110)()(0. 规定-=+ (-) . 3. 在V 中 , ( Ⅰ) 00＝；( Ⅱ) 00k；( Ⅲ) kkk)()(. 事实...
