第十讲 四边形（二）1 ．复习矩形、菱形、正方形的判定与性质 . 2 ．复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性质解决相关的证明和计算问题 . 复习目标1 ．矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分 .2. 三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形 ; 四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .3. 是矩形又是菱形的四边形是正方形 . 正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质 .知识要点例 1 如图，已知矩形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ， AE⊥BD ，垂足为 E ，∠ DAE∶∠BAE ＝ 31∶ ，求∠ EAC 的度数 .分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解 .答案： 45°典型例题ABCDEO例 2 如图，四边形 ABCD 是菱形， AC 、 BD 相交于点 O ，过 O分别作各边的垂线，垂足分别为 E 、 F 、 G 、 H. 求证：四边形EFGH 是矩形 .分析：由于菱形的四条边都相等且对角互相垂直，以证明菱形被对角线所分成的四个三角形是全等的直角三角形，而 OE 、 OF 、 OH 、 OG 都是直角三角形斜边上的高，故 OE=OF=OG=OH ，即证明四边形 EFGH 是矩形 .证明： 四边形 ABCD 是菱形 ∴ AB=BC=CD=AD ， OD=OB ， OA=OC且 AC⊥BD ∴ Rt△AOD≌Rt△AOB≌Rt△COD≌Rt△COB OE 、 OF 、 OG 、 OH 分别是三角形斜边上的高 ∴ OE=OF=OG=OH∴ 四边形 EFGH 是矩形典型例题OHABCDEFG例 3 如图，在△ ABC 中，∠ BAC=90° ， AD⊥BC 于 D ， CE 平分∠ ACB ，交 AD 于 G ，交 AB 于 E ， EF⊥BC 于 F ．求证：四边形 AEFG 是菱形．分析：由已知可知，图中有平行线，就可证明角相等、线段相等，因此，可先证四边形 AEFG 是平行四边形，再证一组邻边相等．证明： ∠ BAC=90° ， EF⊥BC ， CE 平分∠ ACB ，∴AE=EF ，∠ CEA=∠CEF ． AD⊥BC ， EF⊥BC ， ∴ EF∥AD ，∴∠CEF=∠AGE ．∴∠ CEA=∠AGE ．∴AE=AG ．∴ EF∥AG ，且 EF=AG ．∴ 四边形 AEFG 是平行四边形．又 AE=EF ，∴ 平行四边形 AEFG 是菱形．典型例题ABCDEFG例 4 已知： 如图， O 为 ABCD 对角线 BD 的中点， MN 过 O且垂直 BD ，分别交 CD 、 AB 于 M 、 N ．求证：四边形 DNBM 是菱形．分析：已知 MN 为 BD 的...
