稀疏线性方程组的求解共轭梯度算法步骤课件• 共轭梯度算法简介• 稀疏线性方程组• 共轭梯度算法求解稀疏线性方程组• 共轭梯度算法的改进• 共轭梯度算法的展望contents目录共轭梯度算法简介01共轭梯度算法的定义共轭梯度算法是一种迭代算法，用于求解稀疏线性方程组。它结合了梯度法和共轭方向法，通过迭代更新解向量，逐步逼近方程组的解。基于稀疏线性方程组的系数矩阵，通过迭代计算解向量的共轭方向，并沿该方向搜索解的更新量。在每次迭代中，计算当前解向量与共轭方向的线性组合，以最小化目标函数。共轭梯度算法的原理010203适用于大规模稀疏线性方程组求解。相较于直接法，具有更低的存储和计算复杂度。相较于单纯梯度法，具有更好的收敛性和全局收敛性。共轭梯度算法的特点稀疏线性方程组02稀疏线性方程组是由一组线性方程组成，其中系数矩阵具有稀疏性，即大多数元素为零。稀疏线性方程组在科学计算、工程、经济等领域有广泛应用，如有限元方法、流体动力学、金融建模等。稀疏线性方程组的定义稀疏线性方程组的求解方法直接法通过消元或迭代方法直接求解稀疏线性方程组，如高斯消元法、 LU 分解等。迭代法通过迭代方式逐步逼近方程的解，如共轭梯度法、雅可比法等。有限元方法在求解偏微分方程时，稀疏线性方程组是有限元方法的基础。流体动力学在计算流体动力学问题时，稀疏线性方程组用于描述流体运动规律。金融建模在金融领域，稀疏线性方程组用于描述资产价格变动和风险评估等。稀疏线性方程组在科学计算中的应用共轭梯度算法求解稀疏线性方程组03步骤 1 ：初始化步骤 2 ：迭代求解共轭梯度算法求解稀疏线性方程组的步骤123计算搜索方向 $d_k$ ，即 $p_k$ 的负梯度方向。计算步长 $alpha_k$ ，即 $d_k$ 与 $p_k$ 的内积。更新解向量 $x_{k+1} = x_k + alpha_k d_k$ 。共轭梯度算法求解稀疏线性方程组的步骤步骤 3 ：更新方向向量计算新的方向向量 $p_{k+1}$ ，即 $r_{k+1}$ 的正梯度方向。共轭梯度算法求解稀疏线性方程组的步骤步骤 4 ：终止条件如果满足终止条件（如残量范数小于预设阈值），则停止迭代；否则，返回步骤 2 。共轭梯度算法求解稀疏线性方程组的步骤共轭梯度算法求解稀疏线性方程组的实现选择初始解和方向向量实现 1计算搜索方向和步长实现 2根据当前解向量和方向向量，计算搜索方向和步长。实现 3 ：更新解向量和方向向量根据计算出的步长更新解向量，并根据残量更新...
