矩阵理论矩阵的Jordan 标准型课件2023REPORTING• 矩阵理论基本概念• Jordan 标准型概述• 求解 Jordan 标准型方法• Jordan 标准型在矩阵分析中应用• 数值计算与实例分析• 课程总结与展望目 录CATALOGUE2023PART 01矩阵理论基本概念2023REPORTING矩阵定义与性质矩阵定义由 m×n 个数排成的 m 行 n 列的数表称为 m 行 n 列的矩阵，简称 m×n 矩阵。矩阵性质矩阵的基本性质包括加法、数乘、乘法等运算的性质，如结合律、交换律、分配律等。两个矩阵的加法就是其相对应元素加起来的和组成的矩阵。矩阵加法一个数和矩阵相乘，就是用该数乘以矩阵的每一个元素。数乘矩阵两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。矩阵乘法矩阵运算规则上（下）三角矩阵主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵。零矩阵所有元素全为零的 m×n 矩阵称为 m×n 零矩阵。单位矩阵主对角线上的元素都为 1 ，其余元素全为零的 n 阶方阵称为n 阶单位矩阵。方阵行数和列数相等的矩阵称为方阵。对角矩阵除主对角线外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。特殊类型矩阵PART 02Jordan 标准型概述2023REPORTING一个 $n$ 阶方阵 $J$ ，若其主对角线上的元素相等，且次对角线上的元素全为 1 ，其余元素全为 0 ，则称$J$ 为一个 Jordan 块。Jordan 块定义Jordan 块是方阵的一种特殊形式，具有一些独特的性质，如幂零性、对角化等。Jordan 块性质Jordan 块定义与性质定理内容对于任意一个 $n$ 阶方阵 $A$ ，都存在一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=J$ ，其中 $J$ 为Jordan 标准型。定理证明通过构造法或归纳法可以证明该定理。Jordan 标准型存在性定理VS若两个 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ 相似于同一个 Jordan 标准型 $J$ ，则存在一个可逆矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{-1}AQ=B$ 。定理证明通过反证法或构造法可以证明该定理。定理内容Jordan 标准型唯一性定理PART 03求解 Jordan 标准型方法2023REPORTING特征多项式设 A 是 n 阶矩阵， λ 是一个数，如果存在 n 阶非零向量 X 使得 AX=λX ，则称 λ 是 A 的一个特征值， X 是 A 的对应于特征值 λ 的特征向量。式 |λE-A| 叫做 A 的特征多项式。最小多项式对于 n 阶矩阵 A ，其最小多项式m(x) 是满足 m(A)=0 的...
