初等几何研究讲义（提纲）（函授用）引言1.本课程特点:《初等几何研究》课主要是对中学几何内容的补充、深化、融会贯通。进一步明确初等几何的基本概念、思想方法、理论体系。为胜任中学几何教学打好基础。2.初等几何发展简史初等几何是世界上最先成熟的一门学科。“几何”一词最早来源于希腊文,意思是“土地测量”，即几何来源于生产实践中土地测量的需要。世界上四大文明古国埃及、印度、巴比伦、中国都位于大河流域。因人类、动物、植物生长中都离不开水,这些国家首先发展了农业,也发展了几何学。三千多年前在古埃及,每年雨季一到,尼罗河水泛滥,大批良田被淹,两岸田亩地界被水冲坏，而农民租种的土地是国王按照同样大小的正方形分配给他们的。每年要缴租金,为计算租金数量,洪水退后,要重新测量土地。几何学就是这样在计算和测量中产生,并应用几何知识,造出了金字塔。埃及人在实践中获得了丰富的几何知识经验,而把这时经验集中起来，形成系统的知识,并将其推广的却是与埃及隔海相望的古希腊人。公元前五、六世纪,古希腊学者泰勒斯,毕达哥拉斯年轻时都到过埃及,学习埃及人的几何经验,并将这些知识系统化。泰勒斯重要发现：对顶角相等,半圆上的圆周角是直角,等腰三角形的底角相等......，毕达哥拉斯重要发现:三角形的内角定理,正多面体最多有五种。欧几里得(公元前330年至前275年,古希腊人)在前人工作的基础上,总结,发展了几何学,使几何系统化、严谨化。写出了光辉著作《几何原本》。世界历史上从来末有一本科学书籍象《几何原本》那样长期地成为广大教师、学生的读物,《几何原本》手抄本先流传了1800多年,从1482年至19世纪末,印刷本用各种文字出了一千版以上。元朝（13世纪）阿拉伯文本传入我国。明朝(17世纪)徐光启汉译本出版。古埃及的几何知识与古希腊的逻辑学结合产生了欧几里得几何学。直到19世纪末,希尔伯特的《几何基础》出版,其完善的公理体系才代替了《几何原本》。第一章几何公理体系第一节欧几里得的《几何原本》与希尔伯特的《几何基础》一.欧几里得的《几何原本》1.《几何原本》的主要内容:《几何原本》共13卷,第5、7、8、9、10卷为算术和比例,其它8卷为几何。1、2卷:直线形(三角形、平行线);3卷:圆；4卷:内接和外切多边形;6卷：相似形11、12、13卷:立体几何。在第1卷中,首先给出23个定义,5个公设、5个公理,组成公理体系。定义:(1)点是没有部分的；1(2)线有长度而没有宽度；(3)线的界限是点；(4)直线是同其中各点看齐的线；(5)面只有长度和宽度；(6)面的界限是线；(7)平面是同其上直线看齐的那种面；(8)至(22)为角、平角、垂线、圆…。(23)平行直线是在同一平面内,而且往两个方向无限延长后在两个方向上都不会相交的直线。公设:(1)从每一点向另一点可引直线；(2)每条直线可以无限延长；(3)以任意点为圆心,可用任意长为半径画圆；(4)所有的直角都相等；(5)在同一平面上,若两直线和第三直线相交,且在同侧构成的两个内角之和小于两直角,则这两条直线在第三直线的这一侧相交。公理:(1)等于同量的量相等；(2)等量加等量,其和相等；(3)等量减等量,其差相等；(4)互相重合的量相等；(5)全量大于部分。其中公设是关于几何关系的规定,而公理是关于数量的规定,现代统称公理。2.《几何原本》特点及其历史意义:(1)《几何原本》特点:是用(古典)公理体系最早建立比较完整的数学体系的典范,其基本思想是以较少的几个基本假设(公理、公设)为基础,运用逻辑上的定义和推理的方法推导出尽可能多的定义和定理。这样,欧几里得就把历史上积累的庞杂分散的几何知识编排成较完整的理论体系。(2)历史意义:《几何原本》是历史上第一部比较完整的数学理论著作,是一部初等数学的基础教材,两千多年来一直被人沿用,对数学教育产生了深远的影响,对自然科学的发展起了重大的作用。3.《几何原本》公理体系的缺陷:(1)有些定义模糊,逻辑顺序不清楚。如“点”、“直线”、“平面”的概念是用“部分”、“长度”、“宽度”等概念来定义的,而后者实际上更为复杂,用“看齐”来定义直线、平面,语言费解。(2)有些推理缺乏依据,只得借助于直观例如:证明两边及夹角对应相等的两个三角形全等时,用“运动”把一个三...
