角平分线练习课1. 如图所示， OP 是∠ AOB 的角平分线，在 OA 上取一点 C, 在 OB 上取一点 D ，使 OC ＝ OD, 连接 CD ，交OP 与 E, 求证： OP⊥CD.证明：∵ OP 是∠ AOB 的角平分线 ∴ ∠ AOE=∠BOE在△ OEC 和△ OED 中 ∵OC=OD ∠ AOE=∠BOE OE=OE ∴ △OEC ≌ △OED （ SAS ） ∴ ∠ COE=∠DOE=90 0∴OP CD⊥ABOPCDE2. 如图所示， OP 是∠ AOC 和∠ BOD 的角平分线， OA=OC,OB=OD. 求证：AB=CD.证明：∵ OP 是∠ AOC 和∠ BOD 的角平分线 ∴ ∠AOP= ∠ COP ∠BOP= ∠DOP ∴ ∠ AOP - ∠BOP = ∠ COP- ∠DOP ∴ ∠AOB= ∠ COD 在△ AOB 和△ COD 中 ∵OA=OC ∠AOB= ∠ COD OB=OD ∴ △AOB ≌ △COD （ SAS ）∴AB=CDFEDCBA4. 如图， BD ＝ CD ， BF⊥AC ， CE⊥AB ．求证： D 在∠ BAC 的角平分线上．证明：∵ BF⊥AC ， CE⊥AB ∴ ∠ CFD=∠BED =90 0在△ BED 和△ CFD 中 ∵ ∠BED = ∠ CFD ∠ BDE=∠CDF( 对顶角 ) BD=CD ∴ △BED ≌ △CFD （ AAS ） ∴ DE=DF∴ D 在∠ BAC 的角平分线上（到角两边距离相等的点在角平分线上）FEDCBA5. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝∠ C ，点 D 是 BC的中点， DE⊥AB ， DF⊥AC ， E ， F 为垂足，求证： D 在∠ BAC 的角平分线上．证明：∵ DE⊥AB ， DF⊥AC ，点 D 是 BC 的中点 ∴ ∠ DEB=∠DFC BD=CD在△ DEB 和△ DFC 中 ∵ ∠ DEB=∠DFC ∠ B=∠C BD=CD ∴ △DEB ≌ △DFC （ AAS ） ∴ DE=DF∴ D 在∠ BAC 的角平分线上（到角两边距离相等的点在角平分线上）ABCDE6. 已知：如图， Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90o ， AC ＝BC,AD 为∠ BAC 的平分线， AE ＝ BC ， DE⊥AB垂足为 E ，求证△ DBE 的周长等于 AB ．证明：∵ AD 为∠ BAC 的平分线∠C ＝ 90o DE⊥AB ∴ DE=CD∵C△DBE=BD+DE+BE∴ C△DBE=BD+CD+BE=BC+BE又∵ AE=BC∴ C△DBE=BC+BE=AE+BE=AB即△ DBE 的周长等于 ABNMEDCBA7. 如图， AE 平分∠ BAC ， BD ＝ DC ， DE⊥BC ，EM⊥AB ， EN⊥AC ．求证： BM ＝ CN ．证明：连接 BE ， CE∵ AE 平分∠ BAC ， EM⊥AB ， EN⊥AC ∴ EM=EN ∵ BD ＝ DC ， DE⊥BC∴ED 垂直平分 BC∴ BE=CE Rt△BEM 和 Rt△CEN 中∵ BE=CE EM=EN ∴ △BEM ≌ △CEN （ HL ） ∴ BM=CNABCDFNPM9. 已知：如图， PA 、 PC 分别是△ ABC 外角∠ MAC 与∠ NCA 的平分线，它们交于P ， PD⊥BM 于 M ， PF⊥BN 于 F ．求证： BP 为∠ MBN 的平分线证明：作 PQ ⊥AC 于 Q∵ PA 平分∠ MAC ， PC 平分∠ NCA ∴ PD=PQ ， PF=PQ∴PD=PF∵ PD⊥BM ， PF⊥BN∴ 点 P 在 ∠ MBN 的平分线上即 BP 为∠ MBN 的平分线Q
