24.1.4 圆周角（第 2 课时） —— 圆周角定理的推论圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。 一半图1图2图3如图 1 至图 3 ， ∵ 对着圆周角∠ C 和圆心角∠ AOB ，AB∴∠C= ∠AOB ，从而，∠ AOB= ∠C 。221OBCAOBCAOBCA图1图2图3如图 1 至图 3 ， （ 1 ）若∠ AOB=50° ，则∠ C= ° ； （ 2 ）若∠ C=75° ，则∠ AOB= ° 。25150OBCAOBCAOBCA【思考】同一条弧所对的圆周角有怎样的大小关系？即如图 4 ， 对着圆周角∠ C 与∠ D ，观察几何画板《同弧所对的圆周角》，猜想∠ C 与∠ D 有怎样的大小关系。AB图4【猜想】∠ C ∠D 。=OBCADOBCAD证明：连接 OA ， OB 。∵ 对着圆周角∠ C 和圆心角∠ AOB ，AB∴∠C= ∠AOB ，同理，∠ D= ∠AOB ， 2121∴∠C ∠D 。=图4又因为相等的弧所对的圆心角 ，从而它们所对的圆周角 。相等相等【推论 1 】同弧或等弧所对的圆周角 。相等OBCAD∵ 对着圆周角∠ C 和∠ D ，AB∴∠C=∠D 。COBADEF同弧等弧 ∵=ABCD∴∠E=∠F 。图51 、直径所对的圆周角【问题 1 】如图 5 ， AB 是⊙ O 的直径，求直径 AB 所对的圆周角∠ C 的度数。解：∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠AOB= ° ， ∴∠C= ∠AOB= = 。18021018021 90°AOBC【推论 2 】半圆（或直径）所对的圆周角是 角。 直AOBC图5∵AB 是⊙ O 的直径， ∴∠C=90° 。直径90°2 、 90° 的圆周角所对的弦 【问题 2 】如图 6 ，圆周角∠ C=90°,求证： AB 是直径。BAC图6证明：设圆心为 O ，∵ 圆周角∠ C=90°, ∴∠AOB= ∠C= = ， 22×9 0°180°∴ 弦 AB 经过 ， 圆心∴AB 是直径。【推论 3 】 90° 的圆周角所对的弦是 。 直径BAC∵ 圆周角∠ C=90°, ∴AB 是直径。图6直径1 、如图 7 ， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上， AB=10cm ， BC=6cm ，则 AC= 。图78cmAOBC61090°8直径图7如图 7 ， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，AC=12cm ， BC=5cm ，则⊙ O 的半径为 cm 。变式练习：6.5AOBC12590°13直径2 、如图 8 ， CD 是⊙ O 的直径， A ， B 是⊙ O 上的两点， （ 1 ）∠ CAD= ° ； （ 2 ）若∠ B=20° ，则∠ C= ° ，∠ ADC= ° 。902070DOCAB图890°20°20°70°直径图8DOCAB变式练习：如图 8 ， CD 是⊙ O 的直径， A ， B 是⊙ O 上的两点，∠ADC=50° ，则∠ B= ° 。40直径50°90°40°40°3 、如图 9 ，找出这个圆的圆心。图94 、如图 10 ， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD∥AB ，∠ B=58° ，求∠ ACD 的度数。DOABC图 10直径58°90°填《新课标学习辅导》第 59 页至第 61 页。
