第二十五章 概率初步专题 47 轨迹与最值武汉专版 · 九年级上册一、线段型最值1 ．已知四边形 ABCD ，∠ ABC ＝ 45° ，∠ C ＝∠ D ＝ 90° ，含 30° 角 (∠P ＝ 30°) 的直角三角板PMN( 如图 ) 在图中平移，直角边 MN⊥BC ，顶点 M ， N 分别在边 AD ， BC 上，延长 NM 到点 Q ，使 QM＝ PB. 若 BC ＝ 10 ， CD ＝ 3 ，则当点 M 从点 A 平移到点 D 的过程中，点 Q 的运动路径长为 __2 ．如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ，∠ CAB ＝ 30° ， BC ＝ 1 ， D 为边 AB 上一动点 ( 不与点 A重合 ) ，△ AED 为等边三角形，过 D 点作 DE 的垂线， F 为垂线上任意一点， G 为 EF 的中点，则线段CG 的最小值是 ________ ．7 2323 ．如图 Rt△ABC 中，∠ BAC ＝ 90° ， AB ＝ 3 ， AC ＝ 4 ， P 为边 BC 上一动点， PE⊥AB 于 E ， PF⊥AC 于 F ，若 EF 的中点为 Q ，当 P 由 B 运动到 C 时，求点 Q 的运动路径长？【解析】如图，连接 AP，则点 Q 也是 AP 的中点．作 AN⊥BC 于 N，QM⊥BC 于 M，则 QM＝12AN＝65，所以点 Q 到 BC 距离为定值．过点 Q 作 Q1Q2平行于 BC，分别交 AC、AB 于点 Q1、Q2，则点 Q 的运动路径长就是线段 Q1Q2 的长，即 Q1Q2＝12BC＝52.二、圆弧型最值 ( 隐圆问题 )4 ．如图， E ， F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE ＝ DF. 连接 CF 交 BD 于点 G ，连接 BE交 AG 于点 H. 若正方形的边长为 2 ，求线段 DH 长度的最小值．【解析】可证△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG，∴∠1＝∠2＝∠3.∵∠1＋∠AEB＝90°，∴∠AHB＝90°，∴点 H 是在以 Rt△AHB 的边 AB 为直径的半圆上运动．如图，取 AB 中点 O，∴当 O，D，H 三点共线时，DH 的长度取最小值为 5－1.5 ．如图，已知 A(2 ， 0) ，⊙ O 半径为 1 ，点 B 为⊙ O 上一动点，点 C 在第一象限，且△ ABC 为等腰直角三角形，∠ BAC ＝ 90° ，求线段 OC 的最大值？【解析】如图，以 OA 为边在 x 轴上方构造等腰 Rt△AOM，连接 MC，OB.易证△AOB≌△AMC，所以 OB＝MC＝1，可求得 M(2，2)，OM＝2 2.点 C 在以 M 为圆心，CM 为半径的圆，可得 OC 最大值＝OM＋MC＝1＋2 2.
