第十五讲 相似图形（三） 会综合运用相似三角形的有关概念、性质解答有关问题 .知识考点 【例 1 】如图，已知，在边长为 1 的正方形ABCD 的一边上取一点 E ，使 AE ＝ AD ，从 AB 的中点 F 作 HF⊥EC 于 H.（ 1 ）求证： FH ＝ FA ；（ 2 ）求 EH∶HC 的值 .典型例题ABCDEFH14证明：（ 1 ）连结 EF ， FC ，在正方形 ABCD 中， AD ＝ AB ＝ BC ，∠ A ＝∠ B ＝ 90 ° AE ＝ AD ， F 为 AB 的中点， ∴ AE:AF=FB:BC ∴△EAF∽△FBC ，∴∠ AEF ＝∠ BFC ，∠ EFA ＝∠ CFB∴∠EFC ＝ 90 ° ， 又 ∠ EFC ＝∠ B ＝ 90 ° ∴△EFC∽△FBC∴∠HEF ＝∠ BFC ，∠ ECF ＝∠ BCF∴∠AEF ＝∠ HEF ，∠ AFE ＝∠ HFE∴△EAF≌△HEF ∴FH ＝ FA典型例题（ 2 ）由（ 1 ）得 EF:FC=1:2, ，由（ 1 ）易证△ EHF∽△EFC ，从而可得 ，同理 ，于是 EH∶HC＝ : ＝ 14∶2EFEH EC2FCCH CE2EF2FC【例 2 】 如图，在矩形 ABCD 中， AB:BC=5:6 ，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，且 EC ＝ BC ，FC ＝ CD ， FG⊥AE 于 G ， . 求证： AG＝ 4GE.典型例题提示：证△ ECF∽△FDA 得EF∶AF ＝ 12∶ ，再证△ EFG∽△EAF∽△FAG 即可 .ABCDEFG1635 【例 3 】已知：如图，在矩形 ABCD 中， E 为 AD的中点， EF ⊥ EC 交 AB 于 F ，连结 FC （ AB ＞AE ） .（ 1 ）△ AEF 与△ EFC 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由 .（ 2 ）设 AB:BC ＝ k ，是否存在这样的值，使得△AEF 与△ BFC 相似，若存在，证明你的结论并求出的值；若不存在，说明理由 .典型例题ABCDEF解：（ 1 ）相似，如图证明：延长 FE 与 CD 的延长线交于点 G. 在 Rt△AEF 与 Rt△DEG 中， E 是 AD 的中点∴AE ＝ ED ，∠ AEF ＝∠ DEG ，∠ A ＝∠ EDG∴△AFE≌△DGE∴E 为 FG 的中点 . 又 CE⊥FG ，∴ FC ＝ GC ∴∠CFE ＝∠G.∴∠AFE ＝∠ EFC ，又△ AEF与△ EFC 均为直角三角形∴△AEF∽△EFC.典型例题GABCDEF（ 2 ）①存在 . 如果∠ BCF ＝∠ AEF ，即 k ＝时，△ AEF∽△BCF.证明：当 时， .∴∠ECG ＝ 30°.∴∠ECG ＝∠ ECF ＝∠ AEF ＝ 30° ，∴∠BCF ＝ 900 － 60° ＝ 30°.又△ AEF...
