第九讲 四边形（一） （ 1 ）复习平行四边形的概念、性质和四边形是平行四边形的条件 . （ 2 ）复习与平行四边形知识相关的证明问题和计算问题 .复习目标 知识导航1 ．平行四边形的概念 .2 ．平行四边形的的性质：（ 1 ）平行四边形对边相等 .（ 2 ）平行四边形对角相等 .（ 3 ）平行四边形的对角线互相平分 .知识要点 3. 四边形是平行四边形的条件：（ 1 ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .（ 2 ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .（ 3 ）对角线互相平分的四边形是平行四边形 .知识要点例 1 已知如图：在四边形 ABCD 中， AB ＝ CD ， AD＝ BC ，点 E 、 F 分别在 BC 和 AD 边上， AF ＝ CE ，EF 和对角线 BD 相交于点 O ，求证：点 O 是 BD 的中点 .分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明 BO ＝ DO典型例题略证：连结 BF 、 DE 在四边形 ABCD 中， AB ＝ CD ， AD ＝BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD∥BC ， AD ＝ BC 又 AF ＝ CE ∴FD∥BE ， FD ＝ BE ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形 ∴BO ＝ DO ，即点 O 是 BD 的中点 . EFODCBA例 2 已知如图：在四边形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 边上的中点，求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .分析：欲证四边形 EFGH 是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由 E 、 F 、 G 、 H 分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结 AC后， EF 和 GH 的关系就明确了，此题也便得证 . （证明略）典型例题ABCDEFGH变式 1 ：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形 .变式 2 ：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形 .变式 3 ：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形 .变式 4 ：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形 .变式 5 ：若 AC ＝ BD ， AC⊥BD ，则四边形 EFGH 是正方形 .变式 6 ：在四边形 ABCD 中，若 AB ＝ CD ， E 、 F 、 G 、 H 分别为 AD 、 BC 、 BD 、 AC 的中点，求证： EFGH 是菱形 .变式 7 ：如图：在四边形 ABCD 中，E 为边 AB 上的一点，△ ADE 和△BCE 都是等边三角形， P 、 Q 、 M 、N 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 边上的中点，求证：四边形 PQMN 是菱...
