对 称 与 群 （一）从我们的身边而来1.1. 人们身边充满了对称人们身边充满了对称 :: 比如比如 :: 雪花图 鼠标 窗框雪花图 鼠标 窗框一、从哪里来 （二）在我们的认知里1 ．几何对称（ 1 ）平面上的对称 （ 2 ）空间中的对称四面体十二面体 2 ．代数对称一元 n 次方程的根的对称多项式：根与系数的关系：) , ,0( 00110CaNnaaxaxainnn0210212321210121)1( aaxxxaaxxxxxxxxxxaaxxxnnnnnnnn 3 ．相邻学科的启示物理：光的传播，物体的运动，……化学：晶体结构，……生物遗传……等等。 二、是什么F· 克莱因于 1872 年提出（《爱尔朗根纲领》）： 一种几何学都和一种群相对应。 所谓几何学，就是探究在群进行变换时不变的图形性质，即变成了研究群的不变性的学科。 克莱因把变换的理论同方程论以及几何学联结在一起。 如何把各种各样的“对称” 当中共同的本质抽象出来，用数学语言理性地描述对称。 什么是对称的共性？什么是对称的本质？ 下面通过对“平面图形的对称”及“ n 元多项式的对称”进行分析，继而探索关于“对称”的统一的本质。 （一） 在运动中看 “对称” 一般地，圆比正方形更对称些，正六边形比正三角形更对称些，正三角形比等腰三角形更对称些，等腰三角形比一般三角形更对称些。正三角形与正方形谁“更”对称一些？ 让静的平面图形动起来，在运动中看对称。用运动的观点去考察事物，研究事物，是常用的方法。 可以把平面图形的对称中用到的运动分为三类： 反射；旋转；平移。 （二）从不变性看“对称” 共同的特点是，都保持平面上任意两点间的距离不变。 所以，把反射、旋转、平移，或者它们的相继实施，统称为“保距变换”——刚体运动。 变中有不变 在 “刚体运动” 下 ,“ 不动”也是一种“运动” , 它可以看成旋转 0o 的“运动” , 也可以看成平移 a=0 的“运动” . 这样，任何平面图形都会在某种“运动”下不变 , 因为它至少在“不动”下不变 . 如果一种平面图形（例如一般三角形）只在“不动”这种“运动”下才不变 , 那么我们就认为该平面图形的对称性最差 , 或者干脆说它“不对称” . 由这一观点自然的延伸 , 就可以想到描述平面图形对称性强弱的一种量化的方法 . 这就是把所有使某平面图形 K 不变的“运动”放在一起 , 构成一个集合 , 记为 S(K...
