信号及其描述习题1.1 求周期方波（图 1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn|—ω ；φn—ω 图并与表 1-1 对比。解：傅立叶级数的复指数形式表达式：x(t)= ∑n=−∞+∞Cnejnω0t;n=0 ,±1,±2,±3,⋅¿⋅¿ ¿式中：所以：幅值频谱：相位频谱：傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。1.2 求正弦信号 x(t)=x0sinωt 的绝对均值 μ|x |和均方根值 x rms解： 1.3 求指数函数 的频谱。 解：1.4 求符号函数（题图 1-1a）和单位阶跃函数（题图 1-1b）的频谱.Cn=1T0∫−T02T 02x(t)e−jnω0tdt=1T 0[∫−T020(−A)e−jn ω0tdt+∫0T 02 Ae− jnω0 tdt]¿1T 0 [−A− jnω0e− jnω0t]−T 020+1T0 [A− jnω0e−jn ω0t]0T 02¿− jAnπ+ jAnπ ×12[e−jnπ+e jnπ]=− j Anπ(1−cosnπ )¿ {− j2 Anπ ;n=±1,±3,±5,⋅¿⋅0 ;n=±2,±4 ,±6,⋅¿⋅x(t)= ∑n=−∞+∞(−j 2 Anπ )ejnω0t ;n=±1,±3,±5,±7,⋅¿⋅|Cn|=√CnR2 +CnI2 =2 Anπ ;n=±1,±3,±5,⋅¿⋅ϕn=arctg CnICnR=arctg(− 2 Anπ0 )=¿¿μ|x|=limT →∞∫0Tx(t )dt= 1T 0∫0T0 x0sinωtdt =2x0π ;式中：T 0=2πωxrms=√1T 0∫0T0 x2(t )dt=√1T 0∫0T0(x0sinωdt )2dt= x0√2x(t )=Ae−αt;(α>0;t≥0)X(f )=∫−∞+∞x(t)e−j2π ftdt=∫0+∞Ae−αt⋅e− j2π ftdt=Aα+ j2 πf 解:1) 符号函数的频谱:令:2)单位阶跃函数的频谱:1.5 求被截断的余弦函数 cosω0t（题图 1-2）的傅立叶变换。 解：1.6 求指数衰减振荡信号（见图 1-11b）： 的频谱解：1.7 设有一时间函数 f(t)及其频谱(题图 1-3 所示)，现乘以余弦型振荡 cosω0t ，(ω0>ωm)。在这个关系中，函数 f(t)叫做调制信号，余弦型振荡 cosω0t 叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t 的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若 ω0<ωm时将会出现什么情况？ 解：当 ω0<ωm 时，将会出 现 频 率 混 叠现象x1(t)=limα→0e−α|t|x(t);X1(f )=∫x1(t)e−j 2πft dt=limα→0(∫−∞0e−α|t|(−1)e−j2π ft dt+∫0+∞e−α|t|e− j2π ftdt)=1jπfx2(t )=limα→0e−α|t|x(t );X 2(f )=∫ x2(t )e− j2 πft dt=limα→0(∫0+∞ e−α|t|e− j2πft dt)=1j 2πfx(t )={cosω0t ;|t|
