第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准一、参考解答令表示质子的质量，和分别表示质子的初速度和到达 a 球球面处的速度，表示元电荷，由能量守恒可知 （1）因为 a 不动，可取其球心为原点，由于质子所受的 a 球对它的静电库仑力总是通过 a 球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对点的角动量守恒。所求 的最大值对应于质子到达 a 球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解 20-1-1）。以表示 的最大值，由角动量守恒有 （2）由式（1）、（2）可得 （3）代入数据，可得 （4）若把质子换成电子，则如图复解 20-1-2 所示，此时式（1）中改为。同理可求得 （5）max22lR评分标准：本题 15 分。式（1）、（2）各 4 分，式（4）2 分，式（5）5 分。二、参考解答在温度为时，气柱中的空气的压强和体积分别为， （1） （2）当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入 A 管和 B 管。设温度升高到时，气柱右侧水银刚好全部压到 B 管中，使管中水银高度增大 （3）由此造成气柱中空气体积的增大量为 （4）与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入 A 管，进入 A 管的水银使 A 管中的水银高度也应增大，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为 （5）所以，当温度为时空气的体积和压强分别为 （6） （7）由状态方程知 （8）由以上各式，代入数据可得K （9）此值小于题给的最终温度K，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当温度到达时，气柱体积为 （10）代入数据可得 （11）评分标准：本题 15 分。求得式（6）给 6 分，式（7）1 分，式（9）2 分，式（10）5 分，式（11）1 分。三、参考解答位于通道内、质量为的物体距地心为时（见图复解 20-3），它受到地球的引力可以表示为 ， （1）式中是以地心为球心、以为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以表示地球的密度，此质量可以表示为 （2）于是，质量为的物体所受地球的引力可以改写为 （3）作用于质量为的物体的引力在通道方向的分力的大小为 （4） （5）为与通道的中垂线间的夹角，为物体位置到通道中点的距离，力的方向指向通道的中点。在地面上物体的重力可以表示为 （6）式中是地球的质量。由上式可以得到 （7）由以上各式可以求得 （8）可见，与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为 （9）物体将以为平衡位置作简谐振动，振动周期为。取处为...
