www.czsx.com.cn初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一、内容提要1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，是由它的系数a,b,c的值确定的.根公式是：x=.(b2－4ac≥0)2.根的判别式①实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是：b2－4ac≥0.②有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是：b2－4ac是完全平方式方程有有理数根.③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根p2－4q是整数的平方数.3.设x1,x2是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么①ax12+bx1+c=0(a≠0，b2－4ac≥0)，ax22+bx2+c=0(a≠0，b2－4ac≥0)；②x1=，x2=(a≠0,b2－4ac≥0)；③韦达定理：x1+x2=,x1x2=(a≠0,b2－4ac≥0).4.方程整数根的其他条件整系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数.特殊的例子有：C=0x1=0，a+b+c=0x1=1，a－b+c=0x1=－1.二、例题例1.已知：a,b,c是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明（用反证法）设两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即-1-www.czsx.com.cn由①得b≥，b+1≥代入③，得a－c=b+1≥，4c≤4a－5④②＋④：a2－4a+5≤0，即（a－2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2.已知首项系数不相等的两个方程：（a－1）x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0和(b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0(其中a,b为正整数)有一个公共根.求a,b的值.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是a和；方程②两根是b和.由已知a>1,b>1且a≠b.∴公共根是a=或b=.两个等式去分母后的结果是一样的.即ab－a=b+2,ab－a－b+1=3,(a－1)(b－1)=3. a,b都是正整数，∴；或.解得；或.又解：设公共根为x0那么先消去二次项：①×（b－1）－②×（a－1）得［－（a2+2）(b－1)+(b2+2)(a－1)］x0+(a2+2a)(b－1)－(b2+2b)(a－1)=0.整理得（a－b）(ab－a－b－2)(x0－1)=0. a≠b∴x0＝1；或(ab－a－b－2)＝0.当x0＝1时，由方程①得a=1,∴a－1=0，-2-www.czsx.com.cn∴方程①不是二次方程.∴x0不是公共根.当(ab－a－b－2)＝0时，得(a－1)(b－1)=3……解法同上.例3.已知：m,n是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n的值.解：方程①两根差是＝＝＝同理方程②两根差是＝依题意，得＝.两边平方得：m2－4n=n2－4m.∴（m－n）(m+n+4)=0 m≠n，∴m+n+4＝0，m+n＝－4.例4.若a,b,c都是奇数，则二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根（m,n是互质的整数）.那么a()2+b()+c=0,即an2+bmn+cm2=0.把m,n按奇数、偶数分类讨论， m,n互质，∴不可能同为偶数.①当m,n同为奇数时，则an2+bmn+cm2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；②当m为奇数,n为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③当m为偶数,n为奇数时，an2+bmn+cm2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m,n取什么整数，方程a()2+b()+c=0都不成立.即假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a,b,c都是奇数时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根.例5.求证：对于任意一个矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长比和面-3-www.czsx.com.cn积比都等于k(k≥1).证明：设矩形A的长为a,宽为b，矩形B的长为c,宽为d.根据题意，得.∴c+d=(a+b)k,cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c,d是方程z2－(a+b)kz+abk=0的两个根.△＝［－（a+b）k］2－4abk＝（a2+2ab+b2）k2－4abk=k［(a2+2ab+b2)k－4ab］ k≥1，a2+b2≥2ab,∴a2+2ab+b2≥4ab，(a2+2ab+b2)k≥4ab.∴△≥0.∴一定有c,d值满足题设的条件.即总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k(k≥1).例6.k取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k2－1）x2－6(3k－1)x+72=0；②kx2+(k2－2)x－(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x1=，x2=.由x1是整数，得k+1=±1,±2,±3,±4,±6,±12.由x2是整数，得k－1=±1,±2,±3,±6.它们的公共解是：得k=0,2,－2,3,－5.答：当k=...
