专题五 解析几何 微切口 18 隐性圆的研究 2 (1) 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,0)，B(4,0)．若直线 x－y＋m＝0 上存在点 P 使得 PA＝12PB，则实数 m 的取值范围是________________． [－2 2，2 2] 【思维引导】 【解析】 方法一：设满足条件 PB＝2PA 的点 P 的坐标为(x，y)，则(x－4)2＋y2＝ 4(x－1)2＋4y2，化简得 x2＋y2＝4，由题意知直线 x－y＋m＝0 与其有交点，所以|m|2≤2，即－2 2≤m≤2 2. 方法二：设在直线 x－y＋m＝0 上有一点(x，x＋m)满足 PB＝2PA，则(x－4)2＋ (x＋m)2＝4(x－1)2＋4(x＋m)2，整理得 2x2＋2mx＋m2－4＝0(*)，因为方程(*)有解，则 Δ＝4m2－8(m2－4)≥0，解得－2 2≤m≤2 2. (2) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点 A(0,2)，若圆 C 上存在点 M，满足 MA2＋MO2＝10，则实数 a 的取值范围是________． [0,3]【解析】 设点 M(x，y)，由 A(0,2)，O(0,0)及 MA2＋MO2＝10，得 x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，整理得 x2＋(y－1)2＝4，即点 M 在圆 E：x2＋(y－1)2＝4 上．若圆 C 上存在点M 满足 MA2＋MO2＝10，也就等价于圆 E 与圆 C 有公共点，所以|2－1|≤CE≤2＋1，即|2－1|≤ a2＋a－32≤2＋1，整理得 1≤2a2－6a＋9≤9，解得 0≤a≤3，即实数 a 的取值范围是[0,3]． (3) 函数 y＝2－sin x2－cos x的最大值和最小值分别为__________________． 4＋ 73，4－ 73 (例 1(3)) 【解析】 令 x1＝cos x，y1＝sin x，则 x21＋y21＝1，它表示单位圆，则所给函数 y 就是经过定点 P(2,2)以及该圆上的动点M(cos x，sin x)的直线 PM 的斜率 k，故只需求此直线的斜率 k 的最值即可．由 y＝k(x－2)＋2 和 x2＋y2＝1 相切，得|2－2k|k2＋1＝1，解得 k＝4± 73，数形结合得 ymax＝4＋ 73，ymin＝4－ 73. (1) (2019·南方凤凰台密题)已知两定点 A(－3,0)，B(1,0)，若直线 l： x ＋ ay － 2 ＝ 0 上 的 一 点 M 满 足 MA2 ＋ MB2 ＝ 16 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是____________________________________． －∞，－ 52 ∪52 ，＋∞ 【解析】 设 M(x，y)，则(x＋3)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝16， 即(x＋1)2＋y2＝4，所以31＋a2≤2，解得 a≤－ 52 或 a≥ 52 . (2) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 ...
