(名师讲坛)版高考数学二轮复习 专题一 三角函数和平面向量 微切口5 与数量积有关的最值和范围问题课件VIP免费

专题一 三角函数和平面向量 微切口 5 与数量积有关的最值和范围问题 (1) (2019·苏州大学考前指导卷)如图(1)，已知等边三角形ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，若M为AB的中点，则OA→ ·OM→ 的最大值为________． (例1(1)) 52＋ 7 【思维引导】 (1) (2) 【解析】方法一：(2)如图，设BC的中点为D，AM的中点为H，连接OH，OD， DH，DM， 因为DH＝1＋142－ ×12×1×cos 120°＝ 72 ， 所以OH≤OD＋DH＝ 721＋ ， ( 例 1(2)) 则OA→ ·OM→ ≤OH2－14＝52＋ 7. 则OA→ ·OM→ ＝OA→ ＋OM→ 2－OA→ －OM→ 24＝OH2－14. 方法二：(3)如图，设∠OBC＝α，则B(2cos α0)，，C(0,2sin α)，过点A作AD⊥y轴于点D， (1(3))例 则A(2sin(α30°)2sin ＋，α2cos(＋α30°))＋， 即A(cos α＋ 3sin αsin ，α＋ 3cos α)． 因为M32cos α＋ 32 sin α，12sin α＋ 32 cos α ， ＝52＋12(cos 2α3＋3sin 2α) ≤52＋12 127＋＝52＋ 7. 所以OA→ ·OM→ ＝2＋cos2α＋3 32 sin 2α 方法三：如(4)图，设∠OBC＝α，BC的中点为D，连接OD， (1(4))例 则B(2cos α0)，，OD1＝ ， OA→ ·OM→ ＝OA→ ·OA→ ＋OB→2＝12OA→ 2＋12OA→ ·OB→ 由余弦定理知OA2132＝ ＋ －3cos(2α90°)42＋＝ ＋3sin 2α， OM214cos＝ ＋2α2·2co－s α·cos(α60°)cos 2＋＝α＋ 3sin 2α2＋ ， 所以OA→ ·OM→ ＝52＋12(cos 2α3＋3sin 2α)≤52＋12 127＋＝52＋ 7. ＝12OA→ 2＋12·OA→ ＋OB→ 2－OA→ －OB→ 24 ＝12(OA2＋OM2)－12. (2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F 分别在线段BC和DC上，且BE→＝λBC→，DF→ ＝ 19λDC→ ，那么AE→·AF→的最小值为________． 2918 【解析】方法一：在梯形ABCD中，由AB2＝ ，BC1＝ ，∠ABC60°＝，得DC1＝ ， AE→ ＝AB→ ＋λBC→ ，AF→ ＝AD→ ＋ 19λDC→ ，所以AE→ ·AF→(＝ AB→ ＋λBC→ )·AD→ ＋ 19λDC→ ＝AB→ ·AD→＋AB→ · 19λDC→ ＋λBC→ ·AD→ ＋λBC→ · 19λDC→2＝ ×1×cos 60°2＋ × 19λ＋λ×1×cos 60°＋λ× 19λ× cos 120°＝ 29λ ＋ λ2 ＋ 1718 ≥229λ·λ2 ＋ 1718 ＝ 2918 ，当且仅当 29...