第 2 讲 等差数列及其前 n 项和 同一个常数 公差 d a1 ＋ (n － 1)d 2 (n － m)d am ＋ an ＝ ap ＋ aq md 6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝ d2 n2＋ a1－d2 n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 7．最值问题 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在 ，若a1＜0，d＞0，则Sn存在 ． 最大值 最小值 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，a3＝3，则S4＝( )． A．12 B．10 C．8 D．6 解析 由a2＝1，a3＝3，得：d＝a3－a2＝2. ∴a1＝a2－d＝1－2＝－1， a4＝a3＋d＝3＋2＝5， ∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8. 答案 C 2．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )． A．4 B．5 C．6 D．7 解析 a2＋a8＝2a5，∴a5＝6. 答案 C 4．(2012·杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )． A．13 B．35 C．49 D．63 解析 a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，∴S7＝7a1＋a72＝49. 答案 C 考向一 等差数列基本量的计算 【例 1】►(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前 k项和 Sk＝－35，求 k的值． [审题视点] 第(1)问，求公差 d； 第(2)问，由(1)求 Sn，列方程可求 k. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3. 解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n. 所以Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n2. 进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35. 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7为所求． 等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用方程思想解决问题的方法． 【训练1】 在等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn. 解 设{an}的公差为d，则 a1＋2da1＋6d＝－16，a1＋3d＋a1＋5d＝0， 即 a21＋8da1＋12d2＝－16，a1＝－4d.解得 a1＝－8，d＝2或 a1＝8，d＝－2. 因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)＝n2－9n，或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)＝－n2＋9n. 即Sn＝－n2＋9n(n∈N*)或Sn＝n2－9n(n∈N*)． 考向二 等差数...
