核心模块五 函数与导数 微专题十五导数在研究函数性质中的应用课 时 作 业考 情 分 析在近三年的高考题中，导数应用于复杂函数的单调性、极值和最值的应用，一直是考察热点和难点，尤其是在压轴题中出现考察函数性质的综合运用． 年份填空题解答题2017 T11 考察导数研究函数单调性T20 考察导数在函数性质中的运用2018 T11 考察导数在函数性质中的运用T19 考察导数在函数性质中的运用2019T11 导数的几何意义T19 函数与导数的综合问题课 时 作 业典 型 例 题 目标 1 高次函数的性质 例 1 设函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c. (1) 求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2) 设 a＝b＝4，若函数 f(x)有 3 个不同零点，求 c 的取值范围； (3) 求证：a2－3b＞0 是 f(x)有 3 个不同零点的必要不充分条件． 解析：(1) 由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因为 f(0)＝c，f′(0)＝b， 所以曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝bx＋c. (2) 当 a＝b＝4 时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，所以 f′(x)＝3x2＋8x＋4. 令 f′(x)＝0，得 3x2＋8x＋4＝0，解得 x＝－2 或 x＝－23. f(x)与 f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下： x (－∞，－2) －2 －2，－23 －23 －23，＋∞ f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) c c－3227 所以当 c>0 且 c－3227<0 时，存在 x1∈(－4，－2)，x2∈－2，－23 ，x3∈－23，0 ， 使得 f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0. 由 f(x)的单调性知，当且仅当 c∈0，3227 时，函数 f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c 有 3 个不同零点． (3) 当 Δ＝4a2－12b<0 时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b>0，x∈(－∞，＋∞)， 此时函数 f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以 f(x)不可能有 3 个不同零点． 当 Δ＝4a2－12b＝0 时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b 只有 1 个零点，记作 x0. 当 x∈(－∞，x0)时，f′(x)>0，f(x)在区间(－∞，x0)上单调递增； 当 x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在区间(x0，＋∞)上单调递增． 所以 f(x)不可能有 3 个不同零点． 综上所述，若函数 f(x)有 3 个不同零点，则必有 Δ＝4a2－12b>0. 故 a2－3b>0 是 f(x)有 3 个不同零点的必要条件． 当 a＝b＝4，c＝0 时，a2－3b>0，f(x)＝x3＋4x2＋4x＝x(x＋2)2 只有 2 个不同...
