—— 解三角形大 题 考 法三讲第三角变换与解三角形的综合问题题型 ( 一 )主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角的大小 (或三角函数值)，且常与三角恒等变换综合考查. [典例感悟] [例 1] (2018·南京学情调研)在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，cos B＝45. (1)若 c＝2a，求sin Bsin C的值； (2)若 C－B＝π4 ，求 sin A 的值． [解] (1)法一(角化边)：在△ABC 中，因为 cos B＝45，所以a2＋c2－b22ac＝45. 因为 c＝2a，所以c22＋c2－b22c×c2＝45，即b2c2＝ 920，所以bc＝3 510 . 又由正弦定理得，sin Bsin C＝bc，所以sin Bsin C＝3 510 . 法二(边化角)：因为 cos B＝45，B∈(0，π)， 所以 sin B＝ 1－cos2B＝35. 因为 c＝2a，由正弦定理得 sin C＝2sin A， 所以 sin C＝2sin(B＋C)＝65cos C＋85sin C， 即－sin C＝2cos C. 又因为 sin2C＋cos2C＝1，sin C＞0，解得 sin C＝2 55 ， 所以sin Bsin C＝3 510 . (2)因为 cos B＝45，所以 cos 2B＝2cos2B－1＝ 725. 又 0＜B＜π，所以 sin B＝ 1－cos2B＝35， 所以 sin 2B＝2sin Bcos B＝2×35×45＝2425. 因为 C－B＝π4 ，即 C＝B＋π4 ， 所以 A＝π－(B＋C)＝3π4 －2B， 所以 sin A＝sin3π4 －2B ＝sin3π4 cos 2B－cos3π4 sin 2B ＝ 22 × 725－－ 22 ×2425＝31 250 . [方法技巧] 三角变换与解三角形综合问题求解策略 (1)三角变换与解三角形综合问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是： (2)三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如 A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C, 以及在△ABC 中，A>B⇔sin A>sin B 等． [演练冲关] 1．(2019·江苏高考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. (1)若 a＝3c，b＝ 2，cos B＝23，求 c 的值； (2)若sin Aa＝cos B2b ，求 sinB＋π2 的值． 解：(1)因为 a＝3c，b＝ 2，cos B＝23， 由余弦定理，得 cos B＝a2＋c2－b22ac， 即23＝（3c）2＋c2－（ 2）22×3c×c，解得 c2＝13.所以 c＝ 33 . (2)因为sin Aa＝cos B2b ， 由正弦定理asin A＝bsin B，得...
