专题一 三角函数和平面向量 微切口 6 几何图形中数量积的应用 如图，在平行四边形ABCD中，若AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则 AP→ ·AC→＝________. 【思维引导】 18 【解析】设AC与BD交于点O， 故AC→2＝ AO→ ， AP→·AC→2＝ AP→·AO→ ， 由AP→·AO→|＝ AP→|·(|AO→ |cos∠OAP)＝AP→ 2， 得AP→·AC→2＝ AP→ 218.＝ 如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC, BC＝2AD，且AC⊥BD，若BC→ ·BD→ ＝6，则|BD→ |＝________. 3 【解析】设AC与BD交于点E， 由AD∥BC, BC2＝ AD，得BEED2＝ ，所以BD→ ＝32BE→. 因为 AC⊥BD，所以BCcos∠CBE＝BE， 由BC→·BD→6＝ ，得BC→·32BE→6＝ ，则BC→·BE→4＝ ， 所以BC→·BE→(＝ BC→cos∠CBE)·BE→＝BE→ 2，故BE→ 24＝ ， |所以 BD→ |＝3. (1) (2019·天津卷)在四边形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝2 3，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，那么BD→ ·AE→＝________. 【思维引导】 (1) (2) － 1 【解析】(1) 方法一：(1)如图，过点B作AE的平行线交AD于点F . (例2(1)) 因为AE＝BE，故平行四边形AEBF 为菱形． 因为∠BAD30°＝，AB2＝3，所以AF 2＝ ，即AF→＝25AD→ . 因为AE→＝FB→＝AB→－AF→＝AB→－25AD→ ，所以BD→ ·AE→(＝ AD→ －AB→)·AB→－25AD→ ＝75AB→·AD→－AB→ 2－25AD→ 2＝75×2 3×5× 3212101.－－＝－ 方法二：(3)建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2 30)，，D5 32 ，52 . (2(3))例 因为AD∥BC，∠BAD30°＝，所以∠CBx30°＝， 因为AE＝BE，所以∠BAE30°＝， 所以直线BE的斜率为 33 ，其方程为y＝ 33 (x－2 3)， 直线AE的斜率为－ 33 ，其方程为y＝－ 33 x. 由 y＝ 33 x－2 3，y＝－ 33 x，得 x＝ 3，y＝－1， 所以E( 3，－1)， 所以BD→ ·AE→＝32 ，52 ·( 3，－1)＝－1. (2) (2019·南方凤凰台密题)如图(2)，正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，若P为梯形A3A4A5A6内(包含四条边)的任意一点，则A1A3→ ·A6P→ 的取值范围为________． (例2(2)) [0,3] (2) (4)如图，过点P作PH⊥A1A3于点H，连接A1P.由题A1A3→ ·A6P→ ＝A1A3→ ·(A1P→ －A1A6→ )． 因为多边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，所以A1A3→ ⊥A1A6→ ，即A1A3→ ...
