核心模块六 数列微专题十八 数列的综合运用 课 时 作 业考 情 分 析在近三年的高考题中，等差、等比数列一直是高考重点和难点，填空题中有等差、等比数列单调性、最值的考察，解答题第二、三问针对数列的性质以及代数推理的综合考察，难度较大． 年份填空题解答题2017T9 等比数列的基本量T19 考察等差数列的综合问题2018T14 等差、等比数列的综合问题T19 考察等差、等比数列的综合问题2019T8 等差数列T20 等差、等比的综合问题课 时 作 业典 型 例 题 目标 1 等差、等比数列的衍生或子数列的问题 例 1 已知等差数列{an}的公差 d 不为 0，且 ak1，ak2…，akn，…(k12kn 恒成立，求 a1的取值范围． 解析：(1) 由已知可得 a1，a3，a8 成等比数列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋7d)， 整理可得 4d2＝3a1d.因为 d≠0，所以a1d ＝43. (2) 设数列{kn}为等比数列，则 k22＝k1k3. 又因为 ak1，ak2，ak3 成等比数列， 所以[a1＋(k1－1)d][a1＋(k3－1)d]＝[a1＋(k2－1)d]2. 整理，得 a1(2k2－k1－k3)＝d(k1k3－k22－k1－k3＋2k2)． 因为 k22＝k1k3，所以 a1(2k2－k1－k3)＝d(2k2－k1－k3)． 因为 2k2≠k1＋k3，所以 a1＝d，即a1d ＝1. 当a1d ＝1 时，an＝a1＋(n－1)d＝nd，所以 akn＝knd. 又因为 akn＝ak1qn－1＝k1dqn－1，所以 kn＝k1qn－1. 所以kn＋1kn ＝ k1qnk1qn－1＝q，数列{kn}为等比数列． 综上，当a1d ＝1 时，数列{kn}为等比数列． (3) 因为数列{kn}为等比数列，由(2)知 a1＝d，kn＝k1qn－1(q>1)． akn＝ak1qn－1＝k1dqn－1＝k1a1qn－1，an＝a1＋(n－1)d＝na1. 因为对于任意 n∈N*，不等式 an＋akn>2kn 恒成立． 所以不等式 na1＋k1a1qn－1>2k1qn－1， 即 a1> 2k1qn－1n＋k1qn－1，0< 1a1n0 时，原式得证． 所以 0< 1a1≤12，所以 a1≥2，即得 a1 的取值范围是[2，＋∞)． 【思维变式题...
