—— 直线与圆大 题 考 法二讲第直线与圆的位置关系题型 ( 一 )主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程
[典例感悟] [例 1] 如图，在 Rt△ABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点 T(－1，1)在直线 AC上，BC 中点为 M(2，0)． (1)求 BC 边所在直线的方程； (2)若动圆 P 过点 N(－2，0)，且与 Rt△ABC 的外接圆相交所得公共弦长为 4，求动圆 P 中半径最小的圆方程． [解] (1)因为 AB 边所在直线的方程为 x－3y－6＝0，AC与 AB 垂直，所以直线 AC 的斜率为－3
故 AC 边所在直线的方程为 y－1＝－3(x＋1)， 即 3x＋y＋2＝0
设 C 为(x0，－3x0－2)，因为 M 为 BC 中点，所以 B(4－x0，3x0＋2)． 点 B 代入 x－3y－6＝0，解得 x0＝－45， 所以 C－45，25
所以 BC 所在直线方程为 x＋7y－2＝0
(2)因为 Rt△ABC 斜边中点为 M(2，0)，所以 M 为 Rt△ABC 外接圆的圆心． 又 AM＝2 2，从而 Rt△ABC 外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8
设P(a，b)，因为动圆P过点N，所以该圆的半径r＝ （a＋2）2＋b2，圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2
由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线 m 的方程为(4－2a)x－2by＋a2＋b2－r2＋4＝0
因为公共弦长为 4，⊙M 半径为 2 2，所以 M(2，0)到 m 的距离 d＝2，即|2（4－2a）＋a2＋b2－r2＋4|2 （2－a）2＋b2＝2， 化简得 b2＝3a2－4a，所以 r＝ （a＋2）2＋b2＝ 4a2＋4
当 a＝0 时，r 最小值为 2，此时 b＝0，圆的方程为 x2＋y2＝4
