—— 直线与圆大 题 考 法二讲第直线与圆的位置关系题型 ( 一 )主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程. [典例感悟] [例 1] 如图，在 Rt△ABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点 T(－1，1)在直线 AC上，BC 中点为 M(2，0)． (1)求 BC 边所在直线的方程； (2)若动圆 P 过点 N(－2，0)，且与 Rt△ABC 的外接圆相交所得公共弦长为 4，求动圆 P 中半径最小的圆方程． [解] (1)因为 AB 边所在直线的方程为 x－3y－6＝0，AC与 AB 垂直，所以直线 AC 的斜率为－3. 故 AC 边所在直线的方程为 y－1＝－3(x＋1)， 即 3x＋y＋2＝0.设 C 为(x0，－3x0－2)，因为 M 为 BC 中点，所以 B(4－x0，3x0＋2)． 点 B 代入 x－3y－6＝0，解得 x0＝－45， 所以 C－45，25 . 所以 BC 所在直线方程为 x＋7y－2＝0. (2)因为 Rt△ABC 斜边中点为 M(2，0)，所以 M 为 Rt△ABC 外接圆的圆心． 又 AM＝2 2，从而 Rt△ABC 外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. 设P(a，b)，因为动圆P过点N，所以该圆的半径r＝ （a＋2）2＋b2，圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线 m 的方程为(4－2a)x－2by＋a2＋b2－r2＋4＝0. 因为公共弦长为 4，⊙M 半径为 2 2，所以 M(2，0)到 m 的距离 d＝2，即|2（4－2a）＋a2＋b2－r2＋4|2 （2－a）2＋b2＝2， 化简得 b2＝3a2－4a，所以 r＝ （a＋2）2＋b2＝ 4a2＋4. 当 a＝0 时，r 最小值为 2，此时 b＝0，圆的方程为 x2＋y2＝4. [方法技巧] 解决有关直线与圆位置关系的问题的方法 (1)直线与圆的方程求解通常用的待定系数法，由于直线方程和圆的方程均有不同形式，故要根据所给几何条件灵活使用方程． (2)对直线与直线的位置关系的相关问题要用好直线基本量之一斜率，要注意优先考虑斜率不存在的情况． (3)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系在处理时几何法优先，有时也需要用代数法即解方程组． [演练冲关] (2019·连云港模拟)已知圆 O1：x2＋y2＝25，点 P 在圆 O2：x2＋y2＝r2(0＜r＜5)上，过点 P 作圆 O2 的切线交圆 O1 于点 M，N两点，且 r，OM，MN 成等差数列． (1)求 r； (2)若点 P′的坐标为(－4，3)，与直线 MN 平行的直线 l 与圆 O2交于 A，B 两点，则使△AOB 的面积为 4 3的直线 l 有几条？并说明理由． 解...
