第二节 数学归纳法课时作业练1.(2019 江苏徐州高三模拟)已知数列{an}满足 a1=1,当 n≥2 时,an-1an=√1+an- 12 -1.(1)用数学归纳法证明:an=tan π2n+1;(2)求证:Cn1(an-1)+2Cn2(an-1)2+…+kCnk(an-1)k+…+nCnn(an-1)n≤0.证明 (1)将 a1=1 代入 a1a2=√1+a12-1 得 a2=√2-1,当 n=1 时,a1=tanπ4 =1 成立.假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时成立,即 ak=tan π2k+1,则当 n=k+1 时,ak+1=√1+ak2-1ak=√1+ta n2 π2k +1 -1tan π2k+1=1- cos π2k+1sin π2k+1=tan π2k+2,所以当 n=k+1 时结论也成立.综上所述,an=tan π2n+1.(2)因为 kCnk=k Ankk !=nCn-1k -1,所以 kCnk(an-1)k=(an-1)nCn-1k -1(an-1)k-1.因此Cn1(an-1)+2Cn2(an-1)2+…+kCnk(an-1)k+…+nCnn(an-1)n=(an-1)nann-1.1由(1)知,an=tan π2n+1∈(0,1],所以(an-1)nann-1≤0,得证.2.(2018 宁波九校联考)已知 n∈N*,Sn=(n+1)·(n+2)…(n+n),Tn=2n×1×3×…×(2n-1).(1)求 S1,S2,S3,T1,T2,T3;(2)猜想 Sn与 Tn的关系,并用数学归纳法证明.解析 (1)S1=T1=2,S2=T2=12,S3=T3=120.(2)猜想:Sn=Tn(n∈N*).证明:① 当 n=1 时,S1=T1;② 假设当 n=k(k≥1 且 k∈N*)时,Sk=Tk,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k×1×3×…×(2k-1),则当 n=k+1 时,Sk+1=(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)·(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2)=2k×1×3×…×(2k -1)k+1×(2k+1)(2k+2)=2k+1×1×3×…×(2k-1)(2k+1)=Tk+1.即 n=k+1 时也成立,由①②可知,n∈N*,Sn=Tn成立.3.(2019 苏锡常镇四市高三模拟)设 n≥2,n∈N*.有序数组(a1,a2,…,an)经 m 次变换后得到数组(bm,1,bm,2,…,bm,n),其中 b1,i=ai+ai+1,bm,i=bm-1,i+bm-1,i+1(i=1,2,…,n),an+1=a1,bm-1,n+1=bm-1,1(m≥2).例如:有序数组(1,2,3)经 1次变换后得到数组(1+2,2+3,3+1),即(3,5,4);经第 2 次变换后得到数组(8,9,7).(1)若 ai=i(i=1,2,…,n),求 b3,5的值;(2)求证:bm,i= ∑j=0nai+jCmj ,其中 i=1,2,…,n.(注:当 i+j=kn+t 时,k∈N*,t=1,2,…,n,则 ai+j=at)解析 (1)依题意知,(1,2,3,4,5,6,7,8,…,n)2经 1 次变换为(3,5,7,9,11,13,15,…,n+1),经 2 次变换为(8,12,16,20,24,28,…,n+4),经 3 次变换为(20,28,36,44,52,…,n+12),所以 b3,5=52.(2)证明:下面用数学归纳法证明对 m∈N*,bm,i= ∑j=0mai+jCmj ,其中 i=1,2,…,n.(i)当 m=1 时,b1,i=ai+ai+1= ∑j=01ai+jC1j,其中 i=1,2,…,n,结论成立;(ii)假...
