课时作业 62 圆锥曲线中的最值、范围与定值、定点问题1.已知椭圆 C 过点 M,点 F(-,0)是椭圆的左焦点,点 P,Q 是椭圆 C 上的两个动点,且|PF|,|MF|,|QF|成等差数列.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A.解:(1)设椭圆 C 的方程为+=1(a>b>0),由已知,得解得∴椭圆的标准方程为+=1.(2)证明:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由椭圆的标准方程为+=1,可知|PF|===2+x1,同理|QF|=2+x2,|MF|==2+, 2|MF|=|PF|+|QF|,∴2=4+(x1+x2),∴x1+x2=2.(ⅰ)当 x1≠x2时,由得 x-x+2(y-y)=0,∴=-·.设线段 PQ 的中点为 N(1,n),由 kPQ==-,得线段 PQ 的中垂线方程为 y-n=2n(x-1),∴(2x-1)n-y=0,该直线恒过一定点 A.(ⅱ)当 x1=x2时,P,Q 或 P,Q,线段 PQ 的中垂线是 x 轴,也过点 A.综上,线段 PQ 的中垂线过定点 A.2.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC,BD 过原点 O,若 kAC·kBD=-.求证:四边形 ABCD 的面积为定值.解:(1)由题意 e==,+=1,又 a2=b2+c2,解得 a2=8,b2=4,故椭圆的标准方程为+=1.(2)证明:设直线 AB 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,①由根与系数的关系得 kAC·kBD=-=-,∴=-,∴y1y2=-x1x2=-·=-.又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2+km+m2=,∴-=,∴-(m2-4)=m2-8k2,∴4k2+2=m2.设原点到直线 AB 的距离为 d,则S△AOB=|AB|·d=·|x2-x1|·====2,∴S 四边形 ABCD=4S△AOB=8,即四边形 ABCD 的面积为定值.3.在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点(-,0),(,0)的距离之和等于 4,设点 P的轨迹为曲线 C,直线 l 过点 E(-1,0)且与曲线 C 交于 A,B 两点.(1)求曲线 C 的轨迹方程;(2)△AOB 的面积是否存在最大值,若存在,求出△AOB 的面积的最大值;若不存在,说明理由.解:(1)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(-,0),(,0)为焦点,长半轴长为 2 的椭圆.故曲线 C 的轨迹方程为+y2=1.(2)△AOB 的面积存在最大值.因为直线 l 过点 E(-1,0),所以可设直线 l 的方程为 x=my-1 或 y=0(...