课时作业 62 圆锥曲线中的最值、范围与定值、定点问题1．已知椭圆 C 过点 M，点 F(－，0)是椭圆的左焦点，点 P，Q 是椭圆 C 上的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列．(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求证：线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A.解：(1)设椭圆 C 的方程为＋＝1(a>b>0)，由已知，得解得∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)证明：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由椭圆的标准方程为＋＝1，可知|PF|＝＝＝2＋x1，同理|QF|＝2＋x2，|MF|＝＝2＋， 2|MF|＝|PF|＋|QF|，∴2＝4＋(x1＋x2)，∴x1＋x2＝2.(ⅰ)当 x1≠x2时，由得 x－x＋2(y－y)＝0，∴＝－·.设线段 PQ 的中点为 N(1，n)，由 kPQ＝＝－，得线段 PQ 的中垂线方程为 y－n＝2n(x－1)，∴(2x－1)n－y＝0，该直线恒过一定点 A.(ⅱ)当 x1＝x2时，P，Q 或 P，Q，线段 PQ 的中垂线是 x 轴，也过点 A.综上，线段 PQ 的中垂线过定点 A.2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(2，)．(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线 AC，BD 过原点 O，若 kAC·kBD＝－.求证：四边形 ABCD 的面积为定值．解：(1)由题意 e＝＝，＋＝1，又 a2＝b2＋c2，解得 a2＝8，b2＝4，故椭圆的标准方程为＋＝1.(2)证明：设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，①由根与系数的关系得 kAC·kBD＝－＝－，∴＝－，∴y1y2＝－x1x2＝－·＝－.又 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2＋km＋m2＝，∴－＝，∴－(m2－4)＝m2－8k2，∴4k2＋2＝m2.设原点到直线 AB 的距离为 d，则S△AOB＝|AB|·d＝·|x2－x1|·＝＝＝＝2，∴S 四边形 ABCD＝4S△AOB＝8，即四边形 ABCD 的面积为定值．3．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到两点(－，0)，(，0)的距离之和等于 4，设点 P的轨迹为曲线 C，直线 l 过点 E(－1，0)且与曲线 C 交于 A，B 两点．(1)求曲线 C 的轨迹方程；(2)△AOB 的面积是否存在最大值，若存在，求出△AOB 的面积的最大值；若不存在，说明理由．解：(1)由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以(－，0)，(，0)为焦点，长半轴长为 2 的椭圆．故曲线 C 的轨迹方程为＋y2＝1.(2)△AOB 的面积存在最大值．因为直线 l 过点 E(－1,0)，所以可设直线 l 的方程为 x＝my－1 或 y＝0(...
