第 71 讲 圆锥曲线中的范围、最值问题夯实基础 【p161】【学习目标】会运用代数、三角、几何等方法解决与圆锥曲线有关的范围与推导最值问题，培养推理思维能力、运算能力．【基础检测】1．抛物线 y＝x2上一点到直线 2x－y－4＝0 的距离最短的点的坐标是( )A.B．(1，1)C.D．(2，4)【解析】法一：设抛物线上任一点为(x，y)，则由点到直线的距离得d＝＝＝＝≥.当 x＝1 时，取得最小值，此时点的坐标为(1，1)．法二：设 2x－y＋m＝0 与 y＝x2相切，则 x2－2x－m＝0.Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1，此时 x＝1，∴点的坐标为(1，1)．法三：(导数法)y＝x2的导数为 y′＝2x，设所求点为 P(x0，y0)，则 2x0＝2.∴x0＝1，∴P(1，1)．【答案】B2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线 y＝x2＋2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)C．(1，3] D．(1，3)【解析】依题意可知双曲线渐近线方程为 y＝±x，与抛物线方程联立消去 y 得 x2±x＋2＝0. 渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝－8≥0，求得 b2≥8a2，∴c＝≥3a，∴e＝≥3.【答案】A3．椭圆 C：＋＝1 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在 C 上且直线 PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线 PA1斜率的取值范围是__________．【解析】设 P(x，y)，直线 PA1，PA2的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2＝·＝＝＝－，因为 k2∈[－2，－1]，所以 k1∈.【答案】4．若点 O 和点 F 分别为椭圆＋＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任一点，则OP·FP的最小值为________．【解析】点 P 为椭圆＋＝1 上的任意一点，设 P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，依题意得左焦点 F(－1，0)，∴OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)，∴OP·FP＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋＝·＋. －3≤x≤3，∴≤x＋≤，∴≤≤，∴≤≤，∴6≤·＋≤12，即 6≤OP·FP≤12.故最小值为 6.【答案】65．点 M(20，40)，抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，若对于抛物线上的任意点 P，|PM|＋|PF|的最小值为 41，则 p 的值等于________．【解析】由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离＝到准线的距离 ，过 P 做抛物线的准线的垂线，垂足为 D，则|PF|＝|PD|.(1)当 M(20，40)位于抛物线内，∴|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|，当 M，P，D 共线时，|PM|＋|PF|的距离最小，由最小值为 41，即 20＋＝41，解得：p＝42.满足题意；(2)当 M(20，40)位于抛物线外，当 P，M，F 共...
