课时训练 17 基本不等式的应用1.已知 a>0,b>0,若不等式恒成立,则 m 的最大值等于( )A.10B.9C.8D.7答案:B解析: a>0,b>0,∴2a+b>0,∴要使恒成立,只需 m≤(2a+b)·恒成立,而(2a+b)·=4++1≥5+4=9,当且仅当 a=b 时,等号成立,故 m≤9.2.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为180 元和 80 元,那么水池的最低总造价为( )A.1 000 元B.2 000 元C.2 720 元D.4 720 元答案:B解析:设水池底面一边长为 x m,则另一边为 m,总造价 y=4×180+×80=320+720≥1 280+720=2 000,当且仅当 x=,即 x=2 时,等号成立.3.设 a>0,b>0,若是 3a与 3b的等比中项,则的最小值为( )A.B.1C.2D.4答案:D解析: 是 3a与 3b的等比中项,∴3a·3b=3,即 3a+b=3,有 a+b=1. a>0,b>0,∴,即 ab≤.∴=4.当且仅当 a=b=时,等号成立.4.已知函数 y=+9x,(1)若 x∈(0,+∞),当 x= 时,函数有最小值为 ; (2)若 x∈,当 x= 时,函数有最小值为 ; (3)若 x∈[4,+∞),当 x= 时,函数有最小值为 . 答案:(1) 12 (2) (3)4 37解析:(1) x>0,∴y=+9x≥12.当且仅当=9x,即 x=时,取到等号.故当 x=时,函数 y=+9x 有最小值 12.(2) y=+9x 在上单调递减,在上单调递增,∴x=时,ymin=.故若 x∈,当 x=时,函数 y=+9x 有最小值为.(3) y=+9x 在上单调递增,∴当 x=4 时,ymin=37.故若 x∈[4,+∞),当 x=4 时,函数 y=+9x 有最小值为 37.5.已知关于 x 的不等式 2x+≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为 . 答案:解析: x>a,∴x-a>0,∴2x+=2(x-a)++2a≥4+2a,当且仅当 x=a+1 时取“=”.由题意知,4+2a≥7,故 a≥.16.若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是 . 答案:解析: x2+y2+xy=1,∴(x+y)2=xy+1.又 xy≤,∴(x+y)2≤+1,即(x+y)2≤1.∴(x+y)2≤.∴-≤x+y≤.∴x+y 的最大值为.7.如图所示的某水泥渠道,横断面为等腰梯形,为保证额定流量,面积不得小于 S.若两侧面的倾角均为 60°,为使水泥用料最省,则腰长 a 与底宽 b 之比是多少?解:梯形面积 S=a=a(a+2b). S 为定值,∴a(a+2b)为定值.设周长 l=2a+b, 3a(a+2b)≤=l2,又 3a(a+2b)=4S(定值),∴当 3a=a+2b 时,l=2a+b 有最小值,此时 a=b.∴a∶b=1∶1.8.某种汽车,购车费用是 10 万元,每年使用的保险费、汽油费等约为 0.9 万元,年维修费第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元.问这种汽车使用多少...
