每日一题 规范练(第三周) [题目 1] (本小题满分 12 分)已知各项均为正数的等比数列{an}，满足 a1＝1，且－＝.(1)求等比数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足 bn＝log2an＋1，求数列的前 n 项和为 Tn.解：(1)由已知－＝，得－＝，即 1－＝，解得 q＝2 或 q＝－1(舍去)，因此数列{an}的通项公式 an＝2n－1.(2)由题意得 bn＝log2an＋1＝log22n＝n，＝，所以 Tn＝＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋…＋，②由①－②，得 Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－，所以 Tn＝4－. [题目 2] (本小题满分 12 分)如图，△ABC 为正三角形，AC∥DB，AC＝2，cos ∠ACD＝.(1)求 CD 的长；(2)求△ABD 的面积．解：(1)因为△ABC 为正三角形，AC∥DB，所以∠ACD＝∠BDC，∠BAC＝∠ABD＝，所以 cos ∠ACD＝cos ∠BDC＝，所以 sin ∠BDC＝ ＝.在△BCD 中，BC＝2，∠CBD＝，sin ∠BDC＝，由正弦定理得，＝，所以 CD＝3.(2)在△BCD 中，BC＝2，CD＝3，∠CBD＝，由余弦定理，CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠CBD，则 32＝22＋BD2－4BD×，解得 BD＝－1.所以△ABD 的面积为 S＝BD·AB·sin ＝×(－1)×2×＝. [题目 3] (本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABCDEF 中，AE 与 BD 相交于点 O，C 在平面 ABED 内的射影为 O，G 为 CF 的中点．(1)求证：平面 ABED⊥平面 GED；(2)若 AB＝BD＝BE＝EF＝2，求二面角 ACEB 的余弦值．(1)证明：取 DE 中点 M，在三角形 BDE 中，OM∥BE，OM＝BE.又因为 G 为 CF 中点，所以 CG∥BE，CG＝BE.所以 CG∥OM，CG＝OM.所以四边形 OMGC 为平行四边形．所以 MG∥OC.因为点 C 在平面 ABED 内的射影为 O，所以 OC⊥平面 ABED，从而 MG⊥平面 ABED.又因为 GM⊂平面 GED，所以平面 ABED⊥平面 GED.(2)解：因为 CO⊥平面 ABED，所以 CO⊥AO，CO⊥OB.又 AB＝BE，则四边形 ABED 为菱形，所以 OB⊥AO.以 O 为坐标原点，OA，OB，OC的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，于是 A(，0，0)，B(0，1，0)，E(－，0，0)，C(0，0，)，向量BE＝(－，－1，0)，向量BC＝(0，－1，)，设平面 BCE 的一个法向量为 m＝(x1，y1，z1)，则，即不妨令 z1＝1，则 y1＝，x1＝－1，取法向量 m＝(－1，，1)．又 n＝(0，1，0)为平面 ACE 的一个法向量．设二面角 ACEB 大小为 θ，显然 θ 为锐角，于是 cos θ＝|cos〈m，n〉...
