第 4 讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1．(2019·安徽省考试试题)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为 P，右顶点为 Q，直线 PQ 与圆 x2＋y2＝相切于点 M.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若不经过点 P 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且PA·PB＝0，求证：直线 l 过定点．解：(1)由已知得直线 OM(O 为坐标原点)的斜率 kOM＝2，则直线 PQ 的斜率 kPQ＝－＝－，所以直线 PQ 的方程为 y－＝－，即 x＋2y＝2.可求得 P(0，1)，Q(2，0)，故 a＝2，b＝1，故椭圆 C 的方程为＋y2＝1.(2)证明：当直线 l 的斜率不存在时，显然不满足条件．当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y＝kx＋n(n≠1)，由，消去 y 整理得(4k2＋1)x2＋8knx＋4(n2－1)＝0，Δ＝(8kn)2－4×4(4k2＋1)(n2－1)＝16(4k2＋1－n2)>0，得 4k2＋1>n2.①设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝.②由PA·PB＝0，得(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝0，又 y1＝kx1＋n，y2＝kx2＋n，所以(k2＋1)x1x2＋k(n－1)(x1＋x2)＋(n－1)2＝0，③由②③得 n＝1(舍)，或 n＝－，满足①.此时 l 的方程为 y＝kx－，故直线 l 过定点.2．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P 是 C 上的一个动点，且△F1PF2面积的最大值为 4.(1)求 C 的方程；(2)设 C 的左、右顶点分别为 A，B，若直线 PA，PB 分别交直线 x＝2 于 M，N 两点，过点F1作以 MN 为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值．解：(1)设 P(x0，y0)，椭圆的半焦距为 c.因为 S△F1PF2＝|F1F2|·|y0|≤·2c·b＝bc，所以 bc＝4.又 e＝＝，a2＝b2＋c2，所以 a＝4，b＝2，c＝2，所以 C 的方程为＋＝1.(2)由(1)可知 A(－4，0)，B(4，0)，F1(－2，0)．由题可知，x0≠2，且 x0≠±4.设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则直线 PA 的方程为 y＝k1(x＋4)，令 x＝2 得 y＝6k1，故 M(2，6k1)．直线 PB 的方程为 y＝k2(x－4)，令 x＝2 得 y＝－2k2，故 N(2，－2k2)．记以 MN 为直径的圆为圆 D，则 D(2，3k1－k2)．如图，过点 F1作圆 D 的一条切线，切点为 T，连接 F1D，DT，则|F1T|2＝|F1D|2－|DT|2，所以|F1T|2＝16＋(3k1－k2)2－(3k1＋k2)2＝16－12k1k2，又 k1＝，k2＝，所以 k1·k2＝·＝，由＋＝1，得 y＝－(x－16)，所以 k1·k2＝－，则|F1T|2＝16－12k1k2＝16－12×＝25，...
